等比数列の和の公式と証明
- 等比数列の和の公式と証明について質問があります。
- 質問者は、一般的によく見られる証明方法とは別の証明方法があることに気づきました。
- この証明について、正しいのかどうか疑問に思っています。
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等比数列の和の公式なんですが…
等比数列の和の公式なんですが… 等比数列の公式の和の証明で、よくみるヤツが1つありますよね。 http://www5a.biglobe.ne.jp/~nozo-mu/touhiwa.html ←コレ この証明も理解しているのですが、僕の中でもう1つ証明があるんです。 この証明でいいのか気になって質問しました。その証明は以下の通りです。 まずはじめに恒等式を用意します。 1-r^n=1-r^n 左辺を因数分解して (1-r)(1+r+r^2+r^3+…+r^(n-2)+r^(n-1))=1-r^n 1≠rのとき両辺を1-rで割って 1+r+r^2+r^3+…+r^(n-2)+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r) ここで両辺にaをかけます。 a+ar+ar^2+ar^3+…+ar^(n-2)+ar^(n-1)=a(1-r^n)/(1-r) …※ すると左辺は初項a,公比rの第n項までの等比数列の和となります。 よって※の左辺をSnとすると、 Sn=a(1-r^n)/(1-r) この証明は間違っているでしょうか。 間違っているのなら、その理由もお願いします。
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正しいです。 >Sn=a(1-r^n)/(1-r) の右辺の分子が(1-r)(1+r+r^2+r^3+…+r^(n-2)+r^(n-1)) に因数分解されることが目に見えてくると使いこなせます。
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お礼
回答ありがとうございます。 正しいんですか!! なんかさみしいような… とにかくすっきりしました!!