行列の求め方

質問

基礎的な問題とは思うのですが、下記の行列の求め方がわかりません。
恐らく転置行列を使用して求めるとは思うのですが・・・

x=1　に対してPx=xとなり、x・y=0となる任意の3次元ベクトルyに対して
2
3
はPy=0となるような一次変換を表す3×3行列Pを求めよ。

回答No.4

Tacosan

わかる人にはわかるが, この P は任意の点から直線 x/1 = y/2 = z/3 への正射影を求める写像. ということは, (x, y, z) から
x'/1 = y'/2 = z'/3, 1・(x-x') + 2・(y-y') + 3・(z-z') = 0
を満たす (x', y', z') を求めればいい.

回答No.3

alice_44

＞ まず y の値がわかりません。

y は、1 個のベクトルには決まりません。
x・y = 0 となる任意の 3 次元ベクトル y は、
無限個あります。
もし、y が 1 個に決まってしまったら、
Px = x,　Py = 0 だけでは
P がひとつには決まらないですよね。

P を決めるためには、P によるベクトルの移り先を
3 組 知りたいところです。
1 組は Px = x でよいとして、
Py = 0 から 2 組 取り出したい。
x・y = 0 から、2 個の y を挙げてみましょう。
この部分は、ヤマカンです。
私なら、(2, -1, 0) と (3, 0, -1) を挙げるかな。

P は、
(1, 2, 3) → (1, 2, 3)
(2, -1, 0) →（0, 0, 0)
(3, 0, -1) → (0, 0, 0)
と移すので、

A =
　1　　2　　3
　2　　-1　　0
　3　　0　　-1

B =
　1　　0　　0
　2　　0　　0
　3　　0　　0
と置けば、PA = B と書けます。
よって、P = B・(A の逆行列) が答えです。

このとき、A に逆行列があるように、
(1, 2, 3),　(2, -1, 0),　(3, 0, -1) は
一次独立になっていないといけません。
y を 挙げるとき、そのことには気を遣ってあるのでした。

以上で、
問題の要求しているような P が存在するならば、
P = B・(A の逆行列) でなければいけない
ことまでは示しました。

あとは、この P で、
「x・y=0となる任意の3次元ベクトルyに対してはPy=0となる」
かどうかですよね。これを示してみて下さい。
ここでも、ポイントは一次独立性です。

回答No.2

Tacosan

「そういう形の全てのベクトル」が x = (1, 0, 0)^t と独立なわけですね. だから, そのような全てのベクトルに対して Py = 0 となるような P が求められているんです.
もっとも, 違う方向から見るとまた別の解き方があるんですけどね.

回答No.1

koko_u_u

>恐らく転置行列を使用して求めるとは思うのですが・・・

違います。
x = (1, 0, 0) ならわかりますか？補足にどうぞ。

補足

それでもわかりません。
まずyの値がわかりません。
y=0　　以降の求めかたがわかりません。
y2
y3