実数と平方根

質問

まちゅと言います、おそらく高校1年の初めの範囲ではないかと思うのですが、実数と平方根が分からないので教えていただきたいです。

Q1:　x=2a-1のとき、√x+8aをaの式で表せ。

答えは
2a+1（a≧-1/2）,-2a-1（a<-1/2）

となっているのですが、
|2a+1|を出すまではわかるのですが、（a≧-1/2）,-2a-1（a<-1/2）
の部分が何を言っているのかさっぱりわかりません。

まず、この問題は何をだそうとしてるのかを教えてください。

上記の問題の前のページにある問題で

Q2 ：｜x－2｜=3を満たす実数xの値を求めよ。

と言うのがあり、｜a｜=3（aの絶対値3）を満たすのは何と何か、という
問題で、

答えが
x=5、-1
なのですが、これは３という絶対値はxが5の時と-1の時に
満たされると言うことでよいのでしょうか？
またQ1と基本的に同じなのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

nattocurry · ベストアンサー

まずは、Q2のほうから。

|x-2|=3 で、x-2をaと置き換えて考えてみましょう、ということですね。

|a|の絶対値記号を外すときは、絶対値記号の中身がプラスかマイナスかで、外し方が違います。

|3|=3、|-3|=3、です。

これは解りますよね？

絶対値記号を外すときに、中身のマイナス記号を消す、という認識では、後で混乱します。

絶対値記号の中身が正の場合は、絶対値記号を外すときに、中身はそのまま。
絶対値記号の中身が負の場合は、絶対値記号を外すときに、中身は符号を反転。

と理解しましょう。

|3|の場合、中身は 3 で、正なので、外すときはそのままで、3
|-3|の場合、中身は -3 で、負なので、外すときは符号を反転して、3

解りますか？

では、|a|の場合を考えましょう。

a>0の場合とa<0の場合に分けて考えます。

a>0の場合、|a|=a
a<0の場合、|a|=-a
ちなみに、a=0の場合は、|a|=a(=0)なので、場合分けをするときに、a≧0とa＜0に分けても、a＞0とa≦に分けても、どっちもでも良いです。

Q2の問題に戻りましょう。

x-2をaを置いたので、aをx-2に戻します。
すると、

a>0の場合、|a|=a
a<0の場合、|a|=-a
↓
x-2>0の場合、つまり、x>2の場合、|x-2|=x-2
x-2<0の場合、つまり、x<2の場合、|x-2|=-(x-2)=-x+2

そして、|x-2|=3 を満たすxを求めるので、
x>2の場合、|x-2|=x-2=3
x<2の場合、|x-2|=-(x-2)=-x+2=3

よって、x=5,-1 となります。

そして、Q1です。

|2a+1|の絶対値記号を外すときに、2a+1>0の場合、つまり、a>-1/2の場合は、|2a+1|=2a+1、2a+1<0、つまり、a<-1/2の場合は、|2a+1|=-(2a+1)、ということになります。

ところで、√x+8aの√は、xだけにかかっているのでしょうか？それともx+8aまでかかっているのでしょうか？

お礼

【補足】
とき方として、|2a+1|と答えがでたら
(1)2a+1>0の場合2a+1
(2)2a+1<0の場合-(2a+1)
で、それぞれ
(1')2a=-1
1/2×2a=-1×1/2
a=-1/2

(2')-2a-1
-2a=1
-1/2×-2a=1×-1/2
a=-1/2
になり
正の場合：2a+1（a≧-1/2）
負の場合：-2a-1（a<-1/2）
という表現で答えを導き出すということでしょうか。
なんで1/2が出てきたのかが分からなかったのですが、a=に直した式が
上記でよければこのとき方でOKでしょうか？

補足

nattocurryさん、回答ありがとうございます。

Q1:　x=2a-1のとき、√x2+8a（x二乗+8aが全てルートに入る）をaの式で表せ。

二乗が抜けていました、すみませんでした。

回答No.5

noname#29493

Q1の回答＋αです。

x＝2a-1のとき√(x^2＋8a)＝√(4a^2＋4a＋1)
　　　　　　　　　　　　＝√(2a＋1)^2
　　　　　　　　　　　　＝|2a＋1|
ここで絶対値の中身が正の場合と負の場合で分けると
2a+1（a≧-1/2）,-2a-1（a<-1/2）
になるのは分かった？
|x|はx≧0のときxでx<0のとき-xが定義であるから。
それからちょっとアドバイスしておきます。
わざわざ場合分けして2a+1（a≧-1/2）,-2a-1（a<-1/2）
と書いてますが|2a＋1|を答えとしちゃだめなんでしょうか？
私は√(x^2)＝|x|が定義なので、
√(2a＋1)^2＝|2a＋1|として答えとすれば回答側も分かりやすいと思います

お礼

Tryandgoさん回答ありがとうございます。

＞わざわざ場合分けして2a+1（a≧-1/2）,-2a-1（a<-1/2）
と書いてますが|2a＋1|を答えとしちゃだめなんでしょうか？

いえ、参考書にこのような答え方になっていたので、その意味がわからず
こちらに書き込んだ次第です。
私もどういう答え方がベストなのかがよいのかがわからなかったですが、
|2a+1|でよければそのほうが楽なんですが。。。

回答No.4

B-juggler

こんばんは　Ｎｏ．２です　補足感謝です

解けますね♪
√　のなかが　
ｘ＾２＋８ａ＝（２ａ－１）＾２＋８ａ
　　　　　　＝４ａ＾２＋４ａ＋１　＝（２ａ＋１）＾２

ですね。
√はなくなるけども、ａの値が分からないから、
　｜２ａ＋１｜　と絶対値をつけておく。　と言うことですね。
これは、お約束です。

後は、Ｎｏ．１さんの補足で書かれている内容で大丈夫ですよ♪

これはどうでもいい話だけど、不等号、どっちか決めておいたほうが
いいかもしれませんよ。
＞正の場合：2a+1（a≧-1/2）
＞負の場合：-2a-1（a<-1/2）
これでＯＫなんですが、不等号の向きが逆になってしまうから
ちょっと間違いやすくなるかな？
負の場合：－２ａ－１（－１／２＞ａ）
としておくと、ぱっと見て、間違いにくいかな？
　＃でもこの辺はあんまり関係ないけど。
ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.3

noname#29493

x=2a-1のとき、√x+8aをaの式で表すと
2a+1（a≧-1/2）,-2a-1（a<-1/2）にはならないと思いますが。

>>｜x－2｜=3を満たす実数xの値を求めよ。
これは｜x－2｜の(x-2)の部分が正と負の場合で分ければできます。
ようするに(x-2)が正なら｜x－2｜＝x-2で
逆に負なら｜x－2｜＝-(x-2)
だからxの範囲で場合分けしてxの範囲に注意してxの値として適切かどうかくにんすればできます
>>答えが
x=5、-1
なのですが、これは３という絶対値はxが5の時と-1の時に
満たされると言うことでよいのでしょうか？
もちろんそうです。

補足

Tryandgoさん回答ありがとうございます。

Q1:　x=2a-1のとき、√x2+8a（x二乗+8aが全てルートに入る）をaの式で表せ。

二乗が抜けていました、すみませんでした。

回答No.2

B-juggler

こんばんは

Ｑ１のところ、問題文がルートがどこまでかかるか、
もしかしたら、記号が落ちてないかな？
すいません、もう一回あげてもらえると助かります。
　＃補足要求にしておきますね。

Ｑ２は　ちゃんと行きましょう。

＞Q2 ：｜x－2｜=3を満たす実数xの値を求めよ。

絶対値がかかっていると言うことですね。
ちゃんとした式はあるけど、余り深く考えないほうが楽ですよ。

｜x－2｜　は　（ｘ－２）≧０　のときはそのままはずして構わない。
　　　　　（ｘ－２）＜０　のときは　－（ｘ－２）　とはずす。
一応これが正式なやり方です。

深く考えずに、絶対値がかかると、「マイナスもプラスで出ますよ」
と言うことですかね。

なので、（ｘ－２）が　３か－３になるような
ｘを求めてあげればいいです。

これはすぐに出ますね。
ｘ＝５，－１ですね。

ちゃんとした式で解いても同じ解になりますね。

Ｑ１ですけど、＞　2a+1（a≧-1/2）,-2a-1（a<-1/2）
この答えだけ見ると、必ず正の数ですね。
ルートの中をマイナスにしないようにってことではないかな？

Ｑ１の問題をもう一回、挙げてみてください。
すいませんお願いします。ｍ（＿　＿）ｍ

補足

B-jugglerさん、回答ありがとうございます。

Q1:　x=2a-1のとき、√x2+8a（x二乗+8aが全てルートに入る）をaの式で表せ。

二乗が抜けていました、すみませんでした。

「2a+1（a≧-1/2）,-2a-1（a<-1/2）」
というのは、aが-1/2（-0.5）以上の時と、-1/2（-0.5）より小さい時に√x2+8a（x二乗+8aが全てルートに入る）が成り立つ、ということなのでしょうか？
問題の意図がわからないのです。
よろしくお願いいたします。