• ベストアンサー

 数学の研究で、ある近似公式を作ったとします。

 数学の研究で、ある近似公式を作ったとします。  その公式の精度を確かめてみると、1000を代入しても、答えが12000000のうち、0.0005しか誤差がないというぐらいの精度です。しかし、他の人にわざわざこのような説明をしていては回りくどいです。そこで、近似公式の精度を求める事はできないのでしょうか?例えばある近似公式の精度は「100」、というような精度を表す単位のようなものはないのでしょうか?  ちなみに、実際作った公式はnの多項式で表されるシンプルなものです。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.2

 どんな近似公式を作られたのか分かりませんが、例えば、円周率πのように、ある数値を求めるための近似公式であれば、他の近似公式と比較することで相対的に表すことができると思います。  また、テイラー展開を用いた近似公式のように、ある程度、一般化された数値に適用できるものであれば、周知の近似公式と 収束速度や計算量(演算量) で比較できるかと思います。  (ちなみに、テイラー展開では、剰余項で精度を考えることになります。)  いずれにしても、作られた近似公式がどのような目的で使われるのに適しているかによって、 その近似公式の 目安 が決まるように思います。

hira_kazu
質問者

補足

 すいません。近似公式の内容を書いておくのを忘れました><  ベキ総和の公式で?k^mとおいたときに、mが正の数であれば近似公式を作る事ができるというものです。もちろんmの値は実数の範囲であり、整数なら近似公式ではなく正確に求める事ができます。  例を挙げると…   ?k^0.5 ? 2/3n^1.5 + 1/2n^0.5 - 1/6   ?k^1.5 ? 2/5n^2.5 + 1/2n^1.5 + 1/8n^0.5 - 1/40  というような感じになります。 相対誤差はnの値が大きいほど下がっていく事が今の所分かっているのですが。m=1.5の場合は誤差の値は0~0.0005ぐらいの間で収まります。(0<n<100000の範囲)。  実は、高校の研究発表大会があるので、どれだけ精度の良い近似公式であるかを一言で表現する方法はないかと質問しました。

その他の回答 (1)

  • f272
  • ベストアンサー率46% (8021/17145)
回答No.1

近似公式の精度を表現したいのであれば,相対誤差を言えばいいんじゃないかな? その他に,その近似公式がどの範囲で使用可能かも明示しないとね。あるところでは非常に精度が良くても,少し適用範囲から外れると全然あってないなんてことになると使いづらいし...

関連するQ&A

  • 2次近似したときの誤差R3について

    f (x) = 1 /( 1 + x ) x=0 の近似式 1-x + x^(2) - x^(3) + ・・・・・になりますが、 これの2次近似したときの誤差R3(x)を求めたいのですが、 近似の誤差の公式に当てはめたのですけど、うまく答え通りになりませんでしたので、答えまでの手順を教えてください。宜しくお願いします。 答え -x^3 / (1+c)^4   (c は0とx の間の数)

  • 多項式近似

    エクセルであるデータの散布図を作りました。 ばらつきがみられたので、近似曲線をどうしようかと思ったのですが、6次の多項式近似を行ったところ、プロットした点をほぼすべて正確に通る近似曲線がひけました。 その近似式の式は y==3E-10*x^6 - 8E-08*x^5 + 8E-06*x^4 - 0.0004*x^3 + 0.0091*x^2 - 0.0695x + 0.3314 でした。 R^2も0.999でほとんど1だったので、このデータ(曲線)の式=近似曲線の式とみなしてもいいと思ったのですが、ダメなのでしょうか? 実際のデータではx=97.12561のときy=6.37なのですが、この式に代入するとy=-14になってしまいます。 なぜでしょうか? E-10というのは10^(-10)ということで正しいですよね?

  • 精度、近似値について

    AとBの関係(比)について計算しています。 A=365.24219...  B= 224.62... とすると、 両者の関係はA÷B もしくは B÷Aで表されますよね? 計算結果1.62604... 0.614989... となりました。 この場合の精度?近似する数字として、 1.6250という値と、0.61500という値はどの位正確と言えるのでしょう? 前者ですと1000分の1位の誤差、後者ですと少数点第1位から数えて、10000分の1位の誤差と表現するのでしょうか? 実際は後者のほうが正確なのでしょうか?? そもそも比の話なので、具体的なモノの精度ではありませんが、世間で言う『1万分の1の精度』とかケタ数での精度表現との関係はいかがでしょうか?

  • シミュレーションを元に得られた近似式の有効桁と平均2乗誤差について

    卒業研究で「有限バッファモデルの待ち行列シミュレーションを行い、その結果(呼損率やバッファ使用率、平均待ち時間等)をもとに近似式を導き出す」 ということをやっているのですが、結果として出した近似式について、教授にもっと簡単な式にするべきと言われました。 近似式はシミュレーション結果をExcelにプロットし近似曲線を引くことで得ています。 助言として次の2点を言われています。 ・式の係数は2桁ないし、1桁ぐらいにしてみる ・平均2乗誤差を使う 実際、以下のようにExcelで得た線形近似or多項式近似の式の係数を削り、平均2乗誤差を出してみました。 ※(0.01 <= x <= 0.50、0.01刻み)の範囲での実験結果です y = 0.3181x2 + 0.0399x - 0.0018    ↓ y = 0.32x2 + 0.04x - 0.0018 平均2乗誤差:4.89E-07 x=0.01の時の99%信頼区間:3.76E-05 <= y <= 8.04E-05 x=0.50の時の99%信頼区間:5.38E-03 <= y <= 9.67E-02 xの値が0.01に近い所と0.50に近い所では、明らかに有効な桁が変わってきて、係数を削った影響も異なると思うのですが、 単純に平均2乗誤差だけを見て精度を落とさず、近似できていると結論付けてよいものなのでしょうか? 長文になってしまいましたが、何か助言できる方いましたら、力をお貸しください。 よろしくお願い致します。

  • 微分の3次近似多項式について少し質問です><

    微分の3次近似多項式について少し質問です>< お願いします。 2次近似式の場合の公式は f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)・x+fy(0,0)・y+1/2!{fxx(0,0)・x^2+2fxy(0,0)・x・ y+fyy(0,0)・y^2} になると思うので、 3次近似式多項式の場合は上の公式に 1/3!{fxxx(0,0)・x^3+3fxxy(0,0)・x^2・y+3fxyy(0,0)・x・y^2+fyyy(0,0)・y^3}を加えれば良いですよね?? 少し不安だったので質問しました。間違っていたら教えてください。 ちなみに^2は二乗を、fxxなどをそれで(xで微分)したことを表します。 お願いします。

  • 近似について

    普通は非常に多くの回数の実験を行って答を求めるのが理想的だと思うのですが、実際は高々数回の実験を元にデータを解析します。理想的な場合と実際の場合で誤差の評価はどのように異なってくるのか。ということを近似はどこで入るのか、そしてどの程度信頼できるのか。という視点から皆さんの考えを教えていただけないでしょうか?教えてもらうというよりも意見を述べてもらう感じで構いません。皆さんのご意見お待ちしております。

  • 多変数関数の多項式近似(再投稿)

    3個のパラメータP1、P2、P3と変数Xで決まる未知関数Fのデータセットが約2000データセットあります。 この未知関数を何次かの多項式で近似を行いたいのですが、どのように考えればよいでしょうか。 データセットの値は誤差があり、この誤差を平滑化できるような、多項式のなるべく少ない次数が求められます。1個のパラメータや変数だけに着目すると変動の振る舞いは単調です。 より詳細情報として、p1は10~50位で連続的、P2は5000~20000位で等間隔の離散値、P3は1~20の整数値、Xは5000~20000位の連続値、関数値は0~5000位の連続値。 使用方法のイメージは、ある事象のとき、P1、P2、が決まり、P3とXに対応する近似関数値を求めたいのです。 なおこの関数はマーケットのオプション価値を表すものでブラックショールズ式が通常使われるのですが、この式より導出される理論値と実際の市場データには誤差があり、これを評価したいのが目的です。 p1,P2,P3を固定してXに関する関数に対してなら、多項式近似を行う方法はわかりますが、P1、P2、P3のすべてに対して共通な、もっとも良い近似を行う方法ということにもなります。

  • テイラー展開、公式

    f(x) を x=a の周りでテイラー展開しなさい といったら (x-a)、(x-a)^2、 (x-a)^3などで近似して、それぞれの係数はn回微分などで決まりますよね? 教科書の説明を読んでも、直線の式が実は一次近似になってる!(f(x)=f`(a)(x-a)+f(a)?)それをじゃあ精度を上げて二次式で近似すると・・・?などの説明が続き、いきなりp(x-a)^2の項がたされ、両辺微分してpをだしていますが・・・ そもそもなぜこういう形に置けるのか、二次式で近似と言われなぜp(x-a)^2などがいきなり出てくるのか直観的な部分が理解できません。 (x-a)はとても微小な数なので、二乗、三乗としていくと小さくなっていき、誤差が埋まっていくイメージがなんとなーくあるのですが・・・。 どなたか教えてください。お願い致します。

  • 近似値を求める場合どこまで近似する?

    現在、「微分法の応用」の分野で近似値を求める問題をしていますが、近似式を使ってどこまで近似するべきなのかわかりません。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は x≒0のとき、(1+x)^(1/4)の一次の近似式をつくれ。また、その結果を用いて、(16.1)^(1/4)の近似値を求めよ、です。 (1+x)^(1/4)の一次の近似式は、(1+x)^(1/4)≒1+1/4x・・・☆ となり、これは私もできたのですが、 これを利用して(16.1)^(1/4)の近似値を求めると、 私は最後まで細かく、(16.1)^(1/4)≒2.003125と出したのですが、 解答は(16.1)^(1/4)≒2.00313となっていました。 これはおそらく私の解答2.003125を四捨五入、かまたはさらに近似したものだと思うのですが、答えが2.003125のような場合、これはさらに2.00313と近似(四捨五入)しなければいけないのでしょうか?問題文には小数点以下どこまでというような指定はありません。 数学では化学などの計算問題とは違って四捨五入したりすることがないので、近似値を求める場合どこまで近似すればよいのかわかりません。私は、☆式ですでに近似して2.003125なのに、それをまた近似して2.00313とすると近似を二度しているような感じがして不正確のような気がするのですが。 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

  • 困ってます!数学の公式を用いるプログラムについて。

    数学の公式を使ってプログラムを書くのですが、よくわかりません。ちなみに式は以下の通りです。 n s=√Σ(xi-x)2乗 / n-1 i=1 n Σ(xi-x)2乗 全部にルートがかかっておりそれがn-1で割られてるとい i=1     うものです。 円錐の面積を求めるプログラムは簡単にできたのですが、この場合はどうなるのでしょうか?まずfloatに何を入れていいのかもわかりません。円錐を求めた時はfloatにそれぞれradius,height,volumeを入れ実際に動かした時にそれぞれの値を入れると計算できるようにしました。同じ要領でできると思うのですが、アイデアがうまく浮かびません。どなたかアドバイスしてくれる方教えてください。よろしくお願いします。