• 締切済み

メネラウスの定理を面積比(線分比)で証明

http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page11.html こちらに書かれているメネラウスの定理の説明がよくわかりません。 チェバの定理は http://www.ies.co.jp/LoveMath/center/ceva-j/ceva-j.html の解説で理解できましたが、メネラウスの定理が理解できません。 CAがS1+S3になるのは上の解説のイメージで理解できますが、なぜBOがS1+S3になるのでしょうか？

画像を拡大する

みんなの回答

回答No.1

S[3] :ΔOAQ = BO : OQ よって S[3] * OQ = ΔOAQ * BO また、S[1] :ΔOCQ = BO : OQ よって S[1] * OQ = ΔOCQ * BO (S[1] + S[3]) * OQ = ΔOAQ * BO + ΔOCQ * BO (S[1] + S[3]) * OQ = BO(ΔOAQ + ΔOCQ) (S[1] + S[3]) * OQ = BO * ΔAOC (S[1] + S[3]) * OQ = BO * S[2] BO / OQ = (S[1] + S[3])/S[2] 通じるかわからんが。

weakweak
質問者

お礼

こういう風に考える方法もあるんですね！感動です！！！ でもできれば計算ではなく、図で説明できればと思います。小学生はけいさんじゃ理解できないかなと思いまして・・・。 色々みると面積比で考えるのが一番簡単で直観的な感じがしたので質問いたしました。 頂点Aと頂点Cを通る、線分BOと平行な補助線を2本引いて、その平行線に沿って、頂点Aと頂点CをAOCが一直線になるところまで移動させれば、 http://www.ies.co.jp/LoveMath/center/ceva-j/ceva-j.html の解説と同じイメージでできますね！私がバカでした＾＾；

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • チェバ⇒メネラウスの証明

    チェバとメネラウスが同値である事を証明しようと思ったのですが、「チェバ⇒メネラウス」が証明できません。つまり、メネラウスの定理 △ABCで (AR/RB)*(BP/PC)*(CQ/QA)=1 ただし、R,P,Qはそれぞれ線分AB、半直線BC、線分CA上にあり、三点R,Q,Pは同一直線上にある をチェバを使って証明したいのです。 APをつなげて、BQの延長とAPの交点をSとしてやってみたのですがあと一歩のところでうまくいきません。 ちなみに、チェバ、メネラウス、「メネラウス⇒チェバ」のそれぞれの証明は大丈夫です。図形の証明を説明していただくのは大変と思いますが、ヒントがあれば教えてください。よろしくお願いします。

  • チェバの定理との回答

    先にqa3163829を参照ください http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3163829.html というＡ４さんはメネラウスの定理、チェバの定理を見事に的中させたようですが何でですか？ 超能力的なことでしょうか？ 他人のＱに質問を重ねるのも何なので解説お願いします

  • 三角形の面積比

    △ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＡのそれぞれをｓ：ｔに内分する点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとします。 このとき△ＡＢＣと△ＰＱＲの面積比を求めるという問題です。 平面幾何の問題ですが、ベクトルで考えた方がわかりやすかったのでベクトルで計算して △ＰＱＲ＝(s^2+t^2-st)/(s+t)^2×△ＡＢＣ であることは求めました。 しかし、直感では△ＡＢＣ∽△ＱＲＰのような気もするし、どこかに補助線引っ張ったらチェバの定理か何かの定理を使って求められそうな気もします。この問題を考える際に皆さんならどうやって考えるか教えていただきたいのですが。（できれば補助線を引っ張るような幾何の考え方を期待しています）よろしくお願いします。

  • チェバの定理の上をゆく定理？

    △ＡＢＣがありました。 ＡＢ間をa:bで分けた点をＰとします。 ＢＣ間をc:aで分けた点をＱとします。 ＰＣとＱＡの交点をＯとします。 そしてＢＯの延長線がＣＡと交わる点をＲとします。 ＡＲ：ＲＣはチェバの定理よりb:cとなります。 さらに三角形内部の各線の比率がわかる定理の名前がわからないんです。 たとえば AO:OQが(a+c):bとなり、BO:ORが(b+c):aと出てきます。 比率が間違ってたらすみません（汗 この定理の名前をご存知の方、どうかお力添えを・・・・・。

  • あまり知られていないらしい「定理」の名前（または発見者の名前）を知りたい

    「メネラウスの定理」や「チェバの定理」に似ている， 次のような定理があります。 この定理の名前，もしくは発見者をご存じの方がいらっしゃいましたら， どうぞご教示ください。 ---- >　三角形ABCにおいて， >　直線BC上に点D，直線CA上に点E，直線AB上に点Fを， >　3直線AD,BE,CFが1点で交わるようにとり，その交点をPとする。 >　このとき， >　・ Dが辺BCの内分点ならば，　AP/PD ＝ AF/FB ＋ AE/EC　成り立つ。 >　・ Eが辺CAの内分点ならば，　BP/PE ＝ BF/FA ＋ BD/DC　成り立つ。 >　・ Fが辺ABの内分点ならば，　CP/PF ＝ CE/EA ＋ CD/DB　成り立つ。 ---- この定理は，「メネラウスの定理」から即座に導かれるのですが， 「チェバの定理」が使える三角形に対して， 「チェバの定理」とは異なる辺の比の関係を与えています。 なお，「内分点」という条件を「外分点」に変えた場合， 同じ関係式は成り立ちませんが，類似の関係式を作ることはできます。 図がないとわかりにくいかもしれません。 自分のサイトで恐縮ですが， http://www.geocities.jp/osaqmath/menelaus2006.html にある 「教材研究資料」（PDFファイル）の #37～#38ページ をご覧ください。 私は，清宮俊雄先生の著作「初等幾何の楽しみ」（日本評論社）の 131～132ページ を読んで，初めてこの定理を知りました。 しかし，他では一切見かけたことがない定理です。 この定理の名前，もしくは発見者をご存じの方がいらっしゃいましたら， どうぞご教示ください。 よろしくお願いします。

  • 空間内のメネラウスの定理の逆について

    いつも大変お世話になっております。 現在、高校２年です。 数学なのですが、以下の内容で一部理解できない箇所があります。 （図形が載せられなく、申し訳ございません。） 「空間内の四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DAまたはその延長の点をそれぞれP、Q、R、Sとする。 AP/PB×BQ/QC×CR/RD×DS/SA＝１ が成り立つとき、４点P、Q、R、Sは同一平面上にある。 （証明） 直線PQと辺ACまたはその延長との交点をTとすると、 メネラウスの定理より、 AP/PB×BQ/QC×CT/TA＝１・・・(1) 直線SRと辺ACまたはその延長との交点をT`とすると、 メネラウスの定理より、 CR/RD×DS/SA×AT`/T`C＝１・・・(2) (1)、(2)を辺々かけて、 AP/PB×BQ/QC×CR/RD×DS/SA×CT/TA×AT`/T`C＝１ 条件より CT/TA×AT`/T`C＝１ PとQ、SとRはともに外分点であるか、または内分点であるから、直線ACの延長上に点TとT`はあり、２点は一致する。・・・」 とあり、最後の方の「PとQ、SとRはともに外分点であるか、または内分点である」がどうしてそう言えるのかが理解できていません。 お分かりの方がいらっしゃいましたらアドバイスいただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 中学校幾何の証明

    あるサイトに、「対角線ＡＣとＢＤの交点をＯとし、辺ＡＢ上の任意の点Ｐと点Ｄを結び、対角線ＡＣとの交点をＱとおく。線分ＢＱと線分ＰＯの交点をＲとし、直線ＡＲと辺ＢＣの交点をＭとおく。このとき、点Ｍは、辺ＢＣの中点である。」とあり、 「チェバの定理により、 ＡＰ／ＰＢ×ＢＳ／ＳＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１（ＳはＢＯとＡＭの交点） メネラウスの定理により、　 ＡＰ／ＰＢ×ＢＤ／ＤＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１ よって、 ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２　　　　 このことから、Ｓは線分ＢＯを、２ ： １ に内分する点である。 △ＡＢＣにおいて、点Ｏは辺ＡＣの中点であるので、Ｓは△ＡＢＣの重心となる。 したがって、中線ＡＳと辺ＢＣの交点であるＭは、辺ＢＣの中点となる。」 と証明も書いてあったのですが、ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２になる理由と、Ｓが△ＡＢＣの重心となる理由が分かりません。非常に分かりにくい説明になってしまいましたが、どなたかご解答お願いします。

  • 青チャート　基本例題７０（メネラウスの定理と逆の証明）

    青チャート問題がよくわかりません。 問題 平行四辺形ＡＢＣＤ内の１点Ｐを通り、各辺に平行線を引き、辺ＡＢ、ＣＤ、ＢＣ、ＤＡとの交点を順にＱ、Ｒ、Ｓ、Ｔとする。２直線ＱＳ、 ＲＴが点Ｏで交わる時、３点Ｏ、Ａ、Ｃは１つの直線上にあることを示せ。 解説 △ＰＱＳと直線ＯＴＲについて、メネラウスの定理により ＱＲ/ＲＰ・ＰＴ/ＴＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１ ＰＴ＝ＡＱ、ＴＳ＝ＡＢ、ＱＲ＝ＢＣ、ＰＲ＝ＣＳであるから ＢＣ/ＣＳ・ＡＱ/ＡＢ・ＳＯ/ＯＱ＝１ すなわちＱＡ/ＡＢ・ＢＣ/ＣＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１ よって、メネラウスの定理の逆により、３点Ｏ、Ａ、Ｃは１つの直線上にある。 教えてほしい点 ＢＣ/ＣＳ・ＡＱ/ＡＢ・ＳＯ/ＯＱ＝１とＱＡ/ＡＢ・ＢＣ/ＣＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１ はどの三角形と直線に関して言っているということ 教えて下さい。　お願いします。

  • チェバの定理の逆を証明したいです。

    通信制の大学で数学を勉強している者です。「チェバの定理の逆」についての証明で、頭を悩ませております(ToT) ----------------------------------------- 問：△ABCの辺BC、CA、ABまたはその延長上に点P、Q、Rをとる(3点のうち、辺の延長上にある点の個数は0または2とする)。 このとき、BQとCRが交わり、(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1ならば、AP、BQ、CRは1点で交わることを証明せよ。 ----------------------------------------- という問題です。 一応、先生が証明の例を示してくださいました。 ◆□◆□◆□◆□◆□◆□◆□◆□◆□ 解答例： BQとCRの交点をSとする。 直線ASとBCの交点をTとする。 チェバの定理より、 (BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1　…(1) 一方、仮定より、 (BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB)=1　…(2) (1)(2)より、 BT/TC=BP/PC TとPは、BCと同一の比で内分する点だから一致する。 ∴P=T ◆□◆□◆□◆□◆□◆□◆□◆□◆□ しかし私は、この説明を聞いても、よく意味がわかりませんでした。「辺の延長上にある点の個数は0」の場合を想定して証明してくださったと思われるのですが・・・(添付した図は辺の延長上にある点の個数が2の場合です)。 どうしてSを設定するのか、どうしてP=Tを示すことで、AP、BQ、CRが1点で交わることが言えるのか、さっぱりです(ToT) 私の先生の解答例の真意、もしくは、この証明問題の別の解法をご存知の方がいらっしゃいましたら、教えていただけないでしょうか？ よろしくお願いします(>_<)

  • 比という概念がよくわからない

    面積１に等しい△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢを２：１に内分する点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎとし、線分ＡＬとＢＭ、ＢＭとＣＮ、ＣＮ とＡＬの交点をそれぞれＰ，Ｑ、Ｒとするとき (1)ＡＰ：ＰＲ：ＲＬ＝□：□：１である。 解説 △ＡＢＬとＣＮについて、メネラウスの定理によりＡＮ／ＮＢ ・ＢＣ／ＣＬ・ＬＲ／ＲＡ＝１ すなわち２／１・３／１・ＬＲ／ＲＡ＝１ よってＬＲ：ＲＡ＝１：６・・・・・(1) また、△ＡＣＬとＢＭについてメネラウスの定理により ＡＭ／ＭＣ・ＣＢ／ＢＬ・ＬＰ／ＰＡ＝１　すなわち １／２・３／２・ＬＰ／ＰＡ＝１ よって　ＬＰ：ＰＡ＝４：３ (1)、(2)から　ＡＰ：ＰＲ：ＲＬ＝３：３：１ 疑問点 ＬＲとＲＡの比、ＬＰとＰＡの比をそれぞれ求めているところまでは理解できるんですが、その２つの比をＡＰ：ＰＲ：ＲＬの比に適用している部分が理解できません。 つまり、比と比べる相手によって変化しますよね。だから、ある線分の１組の比 （ＬＰ：ＰＡ、ＬＲ：ＲＡ）の異なる組を引いて（ＡＲ－ＡＰ＋ＲＬ） 比を求めることができるのはなぜですか？？　

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する