ラプラシアンの物理的な意味

質問

ラプラシアンが、物理的側面から、どのような意味を持つのか想像できません。

ΔA=∇^2 A= div grad A
ラプラシアンが勾配の発散であることは、数学的に理解できます。
また、勾配、発散（湧き出し）はイメージできます。

しかし、勾配の発散のイメージが分かりません。
googleで調べてみましたが、検索方法が悪いのか、理解できるページが見つかりませんでした。
Gooにも該当する質問はないようです。

初歩的な内容で恥じ入るばかりですが、
どなたか、「勾配の発散のイメージ」をご教授ください。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

>gradならば、「坂道の勾配」などで説明されると思うのですが、そのようなイメージ的なニュアンスで…。

いい線行っているのではないでしょうか?
勾配というのは，要するに傾きですよね。発散場のベクトルは最大勾配を下る向き。山をちょろちょろ下る水の流れのようなものです。「ちょろちょろ」でなくてはなりませんが，イメージとしては十分。
山肌は２次元面なのに対して，3次元空間のポテンシャルの勾配というのをイメージできないのは，しかたのないことです。むしろポテンシャルAに対する理解が十分かどうかが問われるでしょう。たとえば，密度減少の最大勾配方向に向かう流れベクトル・・・などはいかがでしょう。そうした具体的な場面に適用していくことで，ラプラシアンのイメージができていくと思います。本来が数学的抽象的な概念なのですから，イメージをつくるにはアナロジーと応用を知る以外にはないのではないでしょうか？

お礼

ご回答の前半部分は、
「
水流をuベクトル、水のポテンシャルを高度hの関数φ(h)と定義すると、
u= grad φ(h)
となり、勾配の発散、即ち水流の湧き出し量Vは、
V= div u= div grad φ(h)
となる。但し、オイラーの連続式より、密度ρの時間・空間変化量はすくなくてはならない。
」
という理解でよろしいでしょうか？
なんとなくイメージできました。ありがとうございます。

後半部分は、気流でイメージすると、
「
三次元空間の圧力pの勾配により気流流速uが発生するので、
u= grad p *α
となり、その発散はオイラーの連続式
∂ρ/∂t + div(ρu) =0
で表記できる
」
という理解でよろしいでしょうか？
具体例に応じて考えていくしか無いのですね…。
ご回答、ありがとうございます。

回答No.3

noname#185706

＃１です。

>静電場は電場の発散であり、

電場の発散は電荷密度ですね。

お礼

確かに電荷密度ですね…。
すみません。

回答No.1

noname#185706

発散のイメージでじゅうぶんではないでしょうか。

ヴェクトルの発散は、そのヴェクトル場を場の源と関連付けます（例えば電磁気学のガウスの法則）。そのヴェクトル場がスカラー場（ポテンシャル）の勾配で表されるときには、ヴェクトル場の発散はスカラー場の勾配の発散、すなわちラプラシアンという形になります。ヴェクトルよりスカラーの方が扱いやすいことがあるので、場の記述として、後者がよく使われるのだと思います。

お礼

静電場は電場の発散であり、電場はポテンシャルの勾配であるので、
div grad φ　＝Δφ
という事でしょうか…？

勾配の発散がラプラシアンという事は（数学的に）理解できるのですが、
「勾配の湧き出し量」を図示し説明できるようにイメージできません。
gradならば、「坂道の勾配」などで説明されると思うのですが、そのようなイメージ的なニュアンスで…。

ご回答、ありがとうございます。