十の位の数が５である３ケタの自然数のうち、１１で割り切れる数は何個あり

質問

十の位の数が５である３ケタの自然数のうち、１１で割り切れる数は何個ありますか。

解説付きでお願いします。

回答No.5

gohtraw · ベストアンサー

＃２さんの回答で、求める自然数が100m+10(m+n)+nと表わされるということは、
１の位：ｎ
１０の位：５
１００の位：ｍ＋ｎ＜１０ならばｍ、ｍ＋ｎ＞＝１０ならばｍ＋１
であり、求める自然数の１０の位の数字（５）はｍ＋ｎの１の位の数字に等しいためｍ＋ｎは５または１５になります。
　これに着目するとｍとｎの組み合わせ（ｍ－ｎと表わします）は
０－５
１－４
２－３
３－２
４－１
５－０
９－６
８－７
７－８
６－９
の１０通りですが、０－５は３桁にならず、９－６は４桁になるのでいずれも不適です。

回答No.9

alice_38

「十の位の数が５」
大変失礼しました。No.7 は、取り下げます。

回答No.8

zabieru259

11の倍数であるので百の位が同じで十の位が５である自然数は高々一つである。
後は順番に154,253,352,451,550,759,858,957と書いていって
649÷11=59
659÷11=59.....
より百の位に6は来れない
よって題意を満たすのは上記の8個である

回答No.7

alice_38

(1) 10 で割ると 5 余る。
(2) 3 桁である。
(3) 11 で割ると 0 余る。
…を満たす自然数を数えるのですね。

(1)(3) を満たす自然数を 2 個持ってくると、
その差は 10 と 11 の公倍数になっています。
(1)(3) を満たす自然数の一例として、
55 は勘ですぐ思いつくでしょう。
これで、(1)(3) の解が 55 + 110 n で表された
ことになります。
110 は 10 と 11 の最小公倍数、
n は任意の自然数です。

その中で (2) を満たすものが何個あるか
数えることは、できますね？

回答No.6

noname#102340

＞百の位の数＋十の位の数＋一の位の数＝11

ではなくて、a5bならa+b-5が11の倍数になるようなa,bが答えです。

http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/times/times.htm

回答No.4

naniwacchi

#1です。

＞百の位の数＋十の位の数＋一の位の数＝11
＞になれば、3ケタの自然数は、11の倍数になるという説明をどこかできいたのですが、
＞これは、間違っているのでしょうか？

これは間違っています。
各ケタの数の和で倍数かどうかを判定するのは、3の倍数か 9の倍数の場合になります。
（ちなみに、6の倍数は、3の倍数かつ 2の倍数として判定します）
その他は、下 2ケタや下 3ケタに対する条件になったりします。

ちなみに、答えですが。
a+ c= 5の場合は、(a, c)= (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)
a+ c= 16の場合は、(a, c)= (7, 9), (8, 8), (9, 7)
で、計 8とおりとなります。

回答No.3

michimoti

１１
２２
・
・
・
９９
１１０
１２１
１３２
１４３
１５４

一番右の数が、０１２３４と増えているな。
まん中の数より、右の数が１小さいな。

１９８
２０９
２２０
２３１
２４２
２５３

一番右が、０１２３４と増えているな。
まん中の数より、右の数が２小さいな。

２９７
３０８
３１９
３３０
３４１
３５２

で、ここまでの結果を、とりあえず抜き出してみるか。

１５４
２５３
３５２

左は、１２３４と増えていて、
右は、４３２１と減っている。

１５４
２５３
３５２
４５１
５５０

６？？

６６０は１１で割れる。
（１１０、２２０、３３０が、１１で割れたことに注目）
こっから１１を引いてみよう。
６４９で、５が出てこない。

じゃあ、７７０から、１１を引いてみよう。

７５９
８５８
？？？

というわけで？

調べて、規則性を見つけるということが大切と思います。
その方が、数学が面白くなるんじゃないかと、ぼくは思います。

お礼

回答ありがとうございます。

問題に付属の解答では８個だそうです。

この問題は、高校入試用の問題集の中にある問題です。

規則性を見つけることは大事かも知れませんが、試験という時間が限られているので、
もう少し素早くできるやり方はないでしょうか？

回答No.2

sotom

任意の一桁の自然数a,bとした場合、10の位が5である3ケタの自然数は、
100a+50+bと表せます。また、11の倍数ですから、11*(10m+n)=110m+11n
=100m+10(m+n)+nとも表せます。

10の位が5ということは、m+n=5or15であるということ。
即ち、10の位と1の位の和が5or15である事。また、3桁の自然数において、
最大の11の倍数は990。それに注目すれば解けるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

この問題は高校入試用の問題集の問題の中の一つで、付属の解答には答えは、８個だそうです。

11×(10m+n)=110m+11n=100m+10(m+n)+n
10の位が5ということは、m+n=5or15である
ということがいまいち理解できません。

詳しく教えてくださると助かります。

回答No.1

naniwacchi

文字を用いてもよい前提で回答します。

「十の位の数が５である３ケタの自然数」は
100a+ 50+ c（1≦ a≦ 9, 0≦ c≦ 9）と表すことができます。

この式を次のように変形すると
100a+ 50+ c
= (99a+ a)+ (44+ 6)+ c
= 11* (9a+ 4)+ (a+ c+ 6)

この後ろにある a+ c+ 6が 11の倍数であれば、全体も 11の倍数となります。
1≦ a≦ 9, 0≦ b≦ 9ですから、a+ cは 1≦ a+ c≦ 18
よって、7≦ a+ c+ 6≦ 24
この範囲に含まれる 11の倍数は、11と 22です。

あとは、a+ c= 5または a+ c= 16を満たす aと cの組合せを数えれば答えになります。

お礼

回答ありがとうございます。

この問題は高校入試用の問題集の問題の中の一つで、付属の解答には答えは、８個だそうです。

百の位の数＋十の位の数＋一の位の数＝11
になれば、3ケタの自然数は、11の倍数になるという説明をどこかできいたのですが、
これは、間違っているのでしょうか？