凸型（逆U字型）のプロットデータの回帰と有意性の検定はどう行えますか？

質問

統計学の初心者です。
横軸（x軸）に独立変数をとって、縦軸（y軸）に従属変数をとって、この２次元平面に観測値をプロットとして落とした結果、xの値が中間的な部分でyの値が最大値を示す凸型（逆U字型）の形状を得ました。

そこで、このデータが線形ではなく非線形でかつ凸型（逆U字型）であることを統計学的な有意性を見出して確認したいと考えています。ウエブで調べると、２次関数での非線形回帰や、Mitchell-Olds and Shaw (MOS) testなどが見つかりました。

しかし結局、
・もっともシンプルな方法はどれか
・その方法は具体的にどういうソフトを使って実施できるのか
がよく分からなかったので、この２点についてご教示下さい。

なお、こちらで使用可能なソフトはエクセル以外にはMathematicaとJUMPがあり、これら以外（R等含む）は使えない状況です。また、ただ単純に回帰するのではなく、有意性の検定もしたいと思っています。

宜しくお願い致します。

回答No.1

noname#227064

二次関数(y=ax^2+bx+c)ならば、普通に線形回帰を行うことになります。
例えば、Rの場合ですと、

> (x <- 1:5)
[1] 1 2 3 4 5
> (y <- -2 * x^2 + 12 * x - 13 + rnorm(5))
[1] -2.093200 3.717525 3.764115 1.834099 -3.556507
> summary(lm(y ~ I(x^2)+x))

Call:
lm(formula = y ~ I(x^2) + x)

Residuals:
1 2 3 4 5
-0.3057 0.7619 -0.4518 -0.1595 0.1550

Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -10.013 1.461 -6.855 0.0206 *
I(x^2) -1.741 0.182 -9.567 0.0107 *
x 9.967 1.113 8.954 0.0122 *
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.681 on 2 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9797, Adjusted R-squared: 0.9594
F-statistic: 48.26 on 2 and 2 DF, p-value: 0.0203

というように結果が表示されます。

お礼

ありがとうございます。ただしRは使えないということを書いたので、今回のアドバイスは直接的には参考になりませんでしたが。

結局JMPで分析・検定はできました。