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直線上に分布した電場による電場
単位長さあたりの電荷量がλの無限に長い直線上の電荷を真空中に置いた。 直線上電荷からrだけ離れた位置の電界の大きさＥを求めよ。（ただし真空の誘電率をε0とする） という問題なのですが。 ガウスの法則では求めることができました。 1/4πε0∫λdl/r^2と計算したらうまくできませんでした。 ∫dlの線積分のところを半径rの円周の長さと線密度が一定と考えて ∫dl＝2πrとしました。 どう計算すればいいのでしょうか？ 回答お願いします。
- kira------
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- yokkun831
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>∫dlの線積分のところを半径rの円周の長さと線密度が一定と考えて ｒを一定としたのがまずかったのです。このｒは変化するｄｌの位置によって変わらなければなりません。無限長にわたって微小長さｄｌの寄与を加えるのですよ！ もとはといえば，直線からの距離ｒをｄｌからの距離と混同したことが間違いのもとです。 直線電荷をｘ軸上とします。y軸上(0,r)の電場を求めましょう。 位置ｘにある微小長さｄｘの寄与は dE = λ/(4πε0)dx/(r^2+x^2)×r/√(r^2+x^2) これを-∞<x<∞で積分します。 x = r tanθとおけば，dx = r/cos^2θdθで E = λ/(4πε0r)∫[-π/2～π/2]cosθdθ = λ/(2πε0r) を得ます。
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