- 締切済み
多項式の最大公約数について
suica-zxの回答
- suica-zx
- ベストアンサー率100% (1/1)
f(x)をg(x)で割ったときの商をh(x)、余りをm(x)とすると f(x)=g(x)h(x)+m(x) このとき、f(x)とg(x)の最大公約数が1のときはm(x)≠0 (m(x)=0のときは余り0ということだから、f(x)はg(x)の倍数で、h(x)が公約数となる。） a(x)f(x)+b(x)g(x)=1とすると、f(x)=g(x)h(x)+m(x)だから a(x)(g(x)h(x)+m(x))+b(x)g(x)=1 g(x)(a(x)h(x)+b(x))=1-a(x)m(x) ∴g(x)=(1-a(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x))…(1) 従って f(x)=(h(x)+b(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x))…(2) (1)・(2)から a(x)f(x)+b(x)g(x)を計算すると a(x)(h(x)+b(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x))+b(x)(1-a(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x)) =(a(x)h(x)+a(x)b(x)m(x)+b(x)-a(x)b(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x)) =(a(x)h(x)+b(x))/(a(x)h(x)+b(x))=1 となり確かに1となる。ここで、計算途中のa(x)b(x)m(x)-a(x)b(x)m(x)は、互いに打ち消しあっているから、m(x)が0以外のどんなもの（多項式）でも、a(x)f(x)+b(x)g(x)=1となる。 f(x)とg(x)の最大公約数が1（f(x)とg(x)は互いに素）のとき、m(x)は0以外のもので、そのときでもa(x)f(x)+b(x)g(x)=1は成り立つ。
関連するQ&A
- 多項式の最大公約数について
多項式の最大公約数について 以下の解き方が数学的に問題がないのか教えていただきたいのです。 (試験で○をもらえるのでしょうか？) 例えば多項式 x^3-x^2-x-2 , x^4+x^3+3x^2+2x+2 , 2x^3+x^2+x-1 の最大公約数ですが、 x=2の時、x^3-x^2-x-2=0なので、比較的簡単に(x-2)(x^2+x+1)となります。 残りの式に因数として(x^2+x+1)が含まれることを仮定し、(x^2+x+1)で除すと、 x^4+x^3+3x^2+2x+2=(x^2+2)(x^2+x+1) 2x^3+x^2+x-1=(2x-1)(x^2+x+1) 要約すると、簡単な式を因数分解し、その因数を利用して 複雑な式の因数分解をしていく方法なのですが、ユークリッド などを使った解法の方が良いのでしょうか？ ご意見を御願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3次式と2次式の最大公約数の問題
・Xの3次式「X3乗＋2X2乗－X－2」とXの2次式「3X2乗＋a2乗X－2a」の最大公約数が「X＋1」であるとき、aの値を求めよ。 こちらの問題の答えは「１」とあるのですが、答えだけで解き方が載っていないので、求め方がわかりません。どなたか分かる方はいますでしょうか。 そもそも、「式と式の最大公約数」というものがどういうものなのかがつかめていません。最近、参考書で「式と式は割ることができる」ということを学習したばかりなのですが、最大公約数というとどういうことなのかが良くわかりません。それと、最大公約数があるということは、式と式にも最小公倍数もあるということでしょうか。 また、「式と式の最大公約数」というのはどの範囲(例えば数I、数Bなど)で出てくるものなのでしょうか。 質問の数が多くなってしまいましたが、分かる方がいましたら教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 最大公約数を求めたい！
二つの数字の最大公約数を求めたいのですがどうしたらいいのかわからず困っています…。プログラムに関しては初心者なのでどなたか分かりやすく教えてもらえませんか？？ ＜さらにもし出来る方がおられたら…＞------------------------------------ 実は最終的にはある数（a（素数））があって、そのaと”たがいに素”である数（ｂ）をプログラムで求めたいんです…。 ある本によると適当な二つの素数ｐ、ｑがあるとしてこのふたつの積（つまりｐ＊ｑ）をｍとします。また、(p-1)(q-1)＝aとすると ”gcd(b,a)≡1(mod m)” という式を満たすんだそうです…。 ※この中にでてくる値で実際に分からないのは"b"のみです。 ※ここで書いているgcd(b,a)というのはaとｂの最大公約数のことです。 --------------------------------------------------------------------- かなり難しいのでこの質問の回答をいただくと本当に助かります。 よろしくお願いしますm(_ _)m
- ベストアンサー
- Visual Basic
- 最大公約数について
「a,b,c,rが正の整数で、a=rb+cであるとき、a,bの最大公約数とb,cの最大公約数は一致することを証明せよ。」 という問題の解答の出だしが、 「aとbの最大公約数をm、bとcの最大公約数をnとおくと a=mA, b=mB（AとBは互いに素な整数） b=nB',c=nC（B'とCは互いに素な整数） と書ける」 となっているのですが、なぜこう書けるのかわかりません。 「a=mA, b=mB」「b=nB',c=nC」とかけるのはわかりますが、なぜAとB,B'とCが互いに素と言えるのかわかりません。 思いつく反例を上げると、a,b,cは異なる数とは問題文に書かれていないので、もしaとbが同じ数だとしたらA=Bとなり互いに素ではありませんよね？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ユークリッドの互除法で最大公約数を求める
＜問題＞ n^2+2n+1とn+3の最大公約数になりうる値をすべて求めよ ＜解答＞ 整数a,bに対してa,bの最大公約数をg(a,b)とあらわす。 g(n^2+2n+1,n+3)=g(n+3,4) 4の正の約数は1,2,4であるから、g(n+3,4)として考えうるのも1,2,4である。 例えば、 n+3=5 すなわちn=2のとき、g(5,4)=1 n+3=6 ・・・ g(6,4)=2 n+3=8 ・・・ g(8,4)=4 となり、最大公約数として可能な数は1,2,4の３つの自然数である。 ＜質問＞ 「g(n+3,4)として考えうるのも1,2,4である。」 が必要条件であることはわかります。 その後、解答でなにがしたいのかよくわかりません。 なぜ例示しただけで「最大公約数として可能な数は1,2,4の３つの自然数である。」といえるのでしょうか？ よろしくお願いします。 ＜思ったこと＞ 必要十分条件なら「g(n+3,4)として考えうるのも1,2,4である」場合、「4の正の約数は1,2,4である」であることを示すことになると思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 原始多項式について
一意分解環Aとその多項式環A[x]∋f(x)について、次の(1), (2)は同値であることを証明したいのですが、 (1)f(x)は原始多項式である (2)任意の素元p∈Aに対して、f(x)をpを法として考えた多項式f'(x)∈(A/(p))[x]は零でない (2)のf(x)をpを法として考えた多項式とは a0, b0, …, an, bn∈Aを用いて f'(x)=(a0/pb0)x^n+…+(an-1/pbn-1)x+(an/pbn) と表せる事(だと思う、、)で、 原始多項式とは f(x)=a0x^n+…+an-1x+anについて、a0, …,anの最大公約元が可逆元であることなので、 (2)⇒(1)はf'(x)=(a0/pb0)x^n+…+(an-1/pbn-1)x+(an/pbn)が零でなければ、a0, …,anの最大公約元が可逆元となるように示して行けば良いと思うのですが さっぱり分かりません。 (1)⇔(2)の証明をご教授頂けると助かります。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数