多項式の最大公約数について

質問

f(X)とg(X)の最大公約数が1であるとき，
ある多項式a(X),b(X)があって，

f(X)a(X)+g(X)b(X)=1

とすることができる．

とあったのですが，これはなぜなのかを教えていただけますか？

よろしくお願いします．

回答No.3

kabaokaba

>a(x)f(x)+b(x)g(x)=1とすると、f(x)=g(x)h(x)+m(x)だから

これが間違い．そもそも
a(x)f(x)+b(x)g(x)=1
を満たすような「多項式a(x)とb(x)が存在する」のが
というのが証明対象なんだから
それを使ってはいけないし，
それを使って，fとgをa,bで表したのなら
af+bg=1になるのは当たり前で循環論法．

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/apdx02.html
↑
整数の場合の証明
これは多項式の場合でもほぼ同様
実際は「ユークリッド整域」であれば
証明はほとんど同じ．
環や体を勉強してるんだから
あとは自力で証明を再構築できるでしょう．

本質は，割り算をしていくと
最大公約数を保ったまま，「小さい組」を構築できて
いつかは打ち止めになるということ

回答No.2

suica-zx

f(x)をg(x)で割ったときの商をh(x)、余りをm(x)とすると

f(x)=g(x)h(x)+m(x)

このとき、f(x)とg(x)の最大公約数が1のときはm(x)≠0
(m(x)=0のときは余り0ということだから、f(x)はg(x)の倍数で、h(x)が公約数となる。）

a(x)f(x)+b(x)g(x)=1とすると、f(x)=g(x)h(x)+m(x)だから
a(x)(g(x)h(x)+m(x))+b(x)g(x)=1
g(x)(a(x)h(x)+b(x))=1-a(x)m(x)
∴g(x)=(1-a(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x))…(1)

従って
f(x)=(h(x)+b(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x))…(2)

(1)・(2)から a(x)f(x)+b(x)g(x)を計算すると

a(x)(h(x)+b(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x))+b(x)(1-a(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x))
=(a(x)h(x)+a(x)b(x)m(x)+b(x)-a(x)b(x)m(x))/(a(x)h(x)+b(x))
=(a(x)h(x)+b(x))/(a(x)h(x)+b(x))=1

となり確かに1となる。ここで、計算途中のa(x)b(x)m(x)-a(x)b(x)m(x)は、互いに打ち消しあっているから、m(x)が0以外のどんなもの（多項式）でも、a(x)f(x)+b(x)g(x)=1となる。

f(x)とg(x)の最大公約数が1（f(x)とg(x)は互いに素）のとき、m(x)は0以外のもので、そのときでもa(x)f(x)+b(x)g(x)=1は成り立つ。

回答No.1

kabaokaba

ユークリッドの互除法
互いに素な整数m,nに対して
am+bn=1
となる整数a,bが存在するというのと同じ．

体論と環論を勉強してるなら
かならず教科書とかにでてるはず．
きわめて有名かつ基本的な性質だから
質問連発で放置するよりも
まずは自分で教科書を読むほうがよいでしょう

＃ここ数日の一連の質問はすべてそういう内容．