最大公約数

質問

最大公約数をだしたいとき、整数なら因数分解すればいいのは分かるんですが例えばax+b,cx+dの最大公約数を求めるようなときはどうすればよいのですか？

回答No.3

yoikagari · ベストアンサー

a,c≠0でかつb/a=d/cのとき
方程式ax+b=0、cx+d=0
は共通解x=-b/aをもちます。
ax+b、cx+d=c(x+b/a)=(c/a)(ax+b)
だから、ax+b,cx+dの最大公約数はax+bです。

そうではないとき
方程式ax+b=0、cx+d=0は共通解を持ちませんので
ax+b,cx+dの最大公約数はax+bです。

一般にf(x),g(x)の最大公約数を求める際は
f(x)=0,g(x)=0の共通解を探すという方針がいいと思います。

余談
整数や整式の最大公約数を求める他の方法として、ユークリッドの互防法もあります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95

お礼

ありがとうございました

回答No.2

shkwta

No.1の補足への回答
No.1で書いたような意味での最大公約数であれば、式で表すのは無理だと思います。式で表さなければならないような事情は何なのかを補足していただけると、他の方法が考えられるかもしれません。

お礼

無理なら問題ないです。そんな、問題が出たら。。。と思ったんで。ありがとうございます。

回答No.1

shkwta

係数を整数に限定するという条件で１次式同士の最大公約数を求めたいなら、つぎのようになりそうです。

○2x+6, 3x+9
この場合、2(x+3) と 3(x+3)　と書くと、(x+3)という共通因数があることがわかりますので、最大公約数は　x+3　となります。

○3x+6, 3x+9
この場合、3(x+2) と　3(x+3)　と書くと、3が共通因数なので、最大公約数は 3　となります。

○4x+6, 3x+9
この場合、2(2x+3)　と 3(x+3)　と書くと共通因数はありませんので、最大公約数は 1 となります。

もし、こういう意味のことをおたずねではないのなら、補足してください。

補足

回答ありがとうございます。
a,b,c,dなどは任意の数としたままで最大公約数を式で表すことはできませんか？