この仮説、証明できますか？

質問

計量経済学の授業で、先日試験がありました。
その試験結果が、「良い人は良いし悪い人は悪く、中間のないbinomialな結果になっている」と、担当教諭が嘆いていますが、私は採点方に問題があるのではないかと思っています。
この採点方法では、中間の人はマイナスポイントによって低成績に落っこちるが、成績の良い生徒はそのまま良いに居残る、よって中間がなくなりbinomialになるのではないか、と。

でもこの仮説、正しいのでしょうか。どなたか証明できますか？
以下に詳しく説明しますね。

(1)正解数１つにつきプラス１点、間違い１つにつきマイナス0.5点
(2)問題は全部で20問で、４択問題です。
正しいと思う選択肢に○をつける形ですが、いくつかの問題は答えが２つあります。（試験中はみな、答えが２つある問題がいくつあるのか知りませんでしたが）満点が26点なので、６問は答えが２つあったということですね。
⇒例えば、答えがaとbの２つの場合、cとdを選んだ生徒は-0.5×2で、その問題のスコアは-1点です。aとcを選らんだ生徒は、1-0.5で、0.5点。aだけを選んだ生徒は１点。aとbを選べば勿論２点。

私は、正解数が11でしたが、間違いを選択したのが12あり、よって-6された結果、成績は26点満点中の５点でした。

どなたか、私の上記の仮説を証明してみせれますでしょうか。

回答No.2

noname#108210 · ベストアンサー

期待に沿わない結果がでました。
学生の正解数の分布が正規分布並みのときの，得点の分布を
画像にしてみました。U字形にはなりませんでした。
仮説が成り立たない証明になってしまいました。残念ですね。(^^)

お礼

おぉっとー！U字形ではなく山形ですね！
えー(;-;)
ちょっと、暫くこのグラフを見つめながら考えさせてください。

回答No.5

Tacosan

「何をどこまで仮定するのか」という設定上の問題があって難しいのですが, 科目とかによっては binomial な結果になることはあります.
例えば, センター試験の数学の成績を見ると, 「中央付近が多く両端にいくほど少なくなる」という分布からは (わずかですが) 外れているはずです. 全問正解という受験生が意外と多いのです.
同じように, ある程度難しくて「理解できる学生は理解してるけど理解できていない学生は全く理解できない」という科目ではこのような結果になることも考えられます.
そもそもこの採点方法って「正解1つにつきプラス1.5点」という完全な加点法と同じ成績分布をしますよね. だから「採点方法」の問題ではありえません... って, #3 でも指摘されてますね.

お礼

回答ありがとうございます。

皆さん、とても丁寧に教えてくださってありがとうございました。

回答No.4

yanasawa

エクセルでやってみました。

正解が１つとは限らないと言うことから、正解が１つだけから４つ全部まで、ランダムで設定してみました。次のように設定しました。
・２０問×４つの欄で８０個の欄がある。○か空欄になる。
・答えがないと困るので先頭の欄は必ず○だとする。でもみんな知らない。他の欄はそれぞれランダム。
・１０００人の人が受験。
・一番できない人は正しく記入されたものに対し、５０％の率で同じことを書くとする。つまりでたらめ。
・次にできない人の率は５０．０５％、とどんどん設定。一番できる人は９９．０５％になる。
・○－○なら１点、空欄－空欄なら０点、○－空欄や空欄－○なら－０．５点とし、集計。グラフに表す。

　その結果、ほぼ５点～５０点の間に入ります。山状、または台上になります。
　１０００人の能力を正規分布に乗るようにすれば、山状の傾向がもっと強くなることが予想されます。

　○は２個まで、とか条件がはっきり決まっていれば、またやりようがあるのですが、これが限界です。

お礼

回答ありがとうございます。
質問の書き方が下手で申し訳ないです。
実は、○は１問につき最高２個までなんです。
少し、グラフを見ながら考えさせてください。

回答No.3

gohtraw

２６問中の正解数をｙ、得点をｙとすると、
（１）誤答時の減点がない場合
　ｙ＝ｘ
（２）誤答時の減点がある場合
　ｙ＝ｘ－（２６－ｘ）＊０．５
　　＝１．５ｘ－１３
　ある集団の正解数の分布を適当に決め、上記の二つの方法で採点した場合に得点の分布がどうなるか調べてみてはいかがでしょう。

お礼

正解数がｘ、得点がｙだと理解しましたが、
(2)誤答時の減点がある場合、
　ｙ＝ｘ－（２６－ｘ）＊０．５
になりますか？

例えば私の例でいくと、
y=x-(26-x)*0.5
5=11-(26-11)*0.5
5=11-15*0.5
5=11-7.5
5=3.5

で、答えが釣り合いませんでした(>_<)

回答No.1

osu_neko09

いえ、私は、試験の結果が実際に、binomialなのだと思いましたが。
この採点方法では、中間の人はマイナスポイントによって低成績に落っこちるが、成績の良い生徒はそのまま良いに居残る、ですが、低成績の人はマイナスポイントによってさらに低成績に落っこちるからです。こんな感じに・・。
正解率25%の人：通常4点、この試験での得点-4点程度
正解率50%の人：通常10点、この試験での得点5点程度
正解率75%の人：通常15点、この試験での得点12.5点程度

0点：誤答26：得点-13 誤答20：得点-10
5点：誤答21：得点-5.5 誤答15：得点-2.5
10点：誤答16：得点 2 誤答10：得点 5
15点：誤答11：得点 9.5 誤答 5：得点12.5
20点：誤答 6：得点17 誤答 0：得点20
25点：誤答 1：得点24.5
26点：誤答 0：得点26

お礼

あぁー、そうか。
最低点数が０だと決まってないから、低い成績の人は更に低く落っこちるわけですね。そういえば、そこを見逃していました。

でも、良い成績の人は良いに留まり、普通の人、悪い成績の人は一段と深く落っことされる採点方式なような気がします。
つまり、良い成績の人はこう成績・中間成績が空いて、普通の人は悪い成績・悪い人は更に悪い成績。

どうでしょうか？