自然数ｍ、ｎ。十分条件の証明

質問

趣味で、久々に高校の時の数学の問題集を解いてみています。
その中で分からない証明があったので、詳しい方教えてください。

[問い] -----------------------------------------------------
自然数ｍ、ｎに関する条件ｐ、ｑがある。ｐはｑであるための必要
条件か、十分条件か、必要十分条件か、またはいずれでもないか？

ｐ： ｍ＜ｎ　　ｑ： ｍ^2 ≦ｎ^2
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答えは十分条件です。（必要条件はｍ＝ｎの時が明らかに反例）
その証明が以下のようになっています。

ｍ＜ｎから ｍ－ｎ＜０　このとき、
ｍ^2－ｎ^2＝（ｍ＋ｎ)(ｍ－ｎ）＜０　
よって ｍ^2 ＜ｎ^2
ゆえに ｍ^2 ≦ｎ^2（*）
したがってｐ⇒ｑは成り立つ。（十分条件）

分からないのは（*）の部分です。なぜ「ゆえに」と言えるのでしょう。
ｍ＜ｎなので、等号はつかないように思うのですが……。

なんだか、すごく単純な思い違いをしているような気もして冷や汗ものですが……良かったら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

ａ≦ｂ　とは　「ａ＜ｂまたはａ＝ｂ」のこと
不等号とイコールのどちらかが成り立てばいいのです。

だから

３≦５（３は５以下である）

と言っても間違いではないのです。
あまり適切な例ではなかったでしょうか。

お礼

>あまり適切な例ではなかったでしょうか。

いえ、めちゃくちゃ分かりやすい例を挙げてくださいました！ ありがとうございます。
たしかに「≦」って、ある数について「＜」「＝」同時には成り立たないですね…。

ありがとうございました、疑問が晴れてとっても助かりました（＾＾）！

回答No.2

fushigichan

spolonさん、こんにちは。

ある条件ｐとｑがあって
ｐ→ｑであるとき、ｐはｑの十分条件、ｑはｐの必要条件といいます。

ｐ： ｍ＜ｎ　　ｑ： ｍ^2 ≦ｎ^2
この二つの条件があったとき。
ｐ→ｑはいえるか？を考えて見ます。
ｍ＜ｎだったら、それぞれ２乗しても不等号の向きは一緒なので
ｍ＾２＜ｎ＾２ですね。（ｍ＞０、ｎ＞０より）
ゆえに
ｍ＾２≦ｎ＾２
となるのは、＜のほうが≦よりも、条件がきついからです。
m^2<n^2のもとでは、絶対にm^2≦n^2は成り立っています。
逆に、m^2≦n^2ならば、m^2=n^2という場合もありうるので
必ずしもm^2<n^2は成り立っていません。
≦のほうが範囲が広いというのは、そういう意味です。
したがって、ｐ→ｑなので、まずｐはｑの十分条件であることがいえました。

次に、ｑ→ｐはいえるか？
m^2≦n^2のときは、先程も書いたように、等号成立の場合も含まれます。
m^2=n^2のときを考えると、m^2-n^2=(m+n)(m-n)=0
m=±nですから、m<nが成り立たないケースも出てきます。
(m=nのとき、m-n=0となってm<nにはならない）
したがって、ｑ→ｐは、いえません。

だから、ｐはｑの十分条件だけです。
ご参考になればうれしいです。

お礼

> ＜のほうが≦よりも、条件がきついからです。

丁寧に解説を加えてくださってありがとうございます♪
なるほど、そういう理屈だったんですねー。
集合的に「ｘ＜ｙ ⊂ ｘ≦ｙ」のようなイメージでしょうか。

あー今分かっておいてよかったです、質問してよかった（＾＾）
とっても参考になりました。
回答くださってほんとにありがとうございました！