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流体力学について
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オイラーの運動方程式 ∂v/∂t+(v∇)v=K-1/ρ・gradp ・・・(1) (v:流れの速度,K:外力,p:圧力,ρ:密度)とする。(二次元の場合で考える事にする) p=p(x,y) v=(u,v) (u:vのx成分分速度,v:vのy成分分速度)と考えて(1)を成分表示すると ∂u/∂t+u(∂u/∂x)+v(∂u/∂y)=Kx-1/ρ・∂p/∂x・・・(3) ∂v/∂t+u(∂v/∂x)+v(∂v/∂y)=Ky-1/ρ・∂p/∂y・・・(4) 条件:流れが定常的であると仮定すれば、∂v/∂t=0 外力がポテンシャルVを持つと仮定すると、K=-gradVと表せる。 条件を考慮し、式の表現を少し変えると(3),(4)式は u(∂u/∂x)+v(∂v/∂x)-v(∂v/∂x-∂u/∂y)=-∂V/∂x-1/ρ・∂p/∂x・・・(3') u(∂u/∂y)+v(∂v/∂y)+u(∂v/∂x-∂u/∂y)=-∂V/∂y-1/ρ・∂p/∂y・・・(4')と表す事が出来る。 (3')dx+(4')dyを作ると d{(u^2+v^2)/2}+dV+dp/ρ=(∂v/∂x-∂u/∂y)(vdx-udy)・・・(5) 定常流を仮定しているからvdx-udy=0となるので(5)の右辺=0となる。 よって(5)の両辺を積分してu^2+v^2=q^2(u,vの合速度)と書き換えれば (q^2)/2+V+∫dp/ρ=Const (ベルヌーイの式)が得られる。
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