三角関数微分の問題です
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【問題】
(１) x=a(t-sin t)
y=a(1-cos t) (a>0) (0 <= t <= 2π)
dy/dxを求めよ。
(２) y=f(x)=sin(α arcsin x)
f^(n) (0)を求めよ。
↑
f(0)をn回微分したもの
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という問題で、(１)はなんとか解けたと思うのですが、(２)が行き詰ってしまいました。私の回答を載せさせてもらいますので、ご指摘や模範解答のほう宜しくお願いします。
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【自分の回答】
(1)
dx/dt=a(1-cos t),dy/dt=a*sin t
∴dy/dx=(a*sin t)/{a(1-cos t)}=(sin t) /(1-cos t)
(2)
y'=1 / √(1- α^2 * sin^-2 x)=(sin x)/ √(sin^2 x - α^2)
∴y'*√(sin^2 x - α^2)/(sin x)=1
両辺をxについて微分し両辺√(sin^2 x - α^2)を掛けて整理すると、
y"*sin x +y'*α^2 * (cos x) / (sin x) =0
⇒(1/α^2)* y" *(sin^2 x) /(cos x)+ y'=0
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ここでライプニッツの定理や数学的帰納法を使って計算していくのですが、
f'(0),f"(0),f^(3) (0),..........といった感じに出来ません。
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お礼
なるほど、全反射について考えていなかったようです。 それを踏まえるとa1>a2の部分が多かったことも原因のようですね。 教えていただきありがとうございました。