確率の問題を教えてください。（10枚のカードを一列に）

質問

1から10までの数が書かれた10枚のカードを一列に並べるとき、
偶数の書かれたカードが4枚連続して並ぶ確率

私が作った解答は以下です。

[1]連続して並ぶ4枚のカードをひとまとめにして考えると、
残り6枚のカードと合わせて7個のものの順列となるので
　7P7=7!（通り）
連続して並ぶ偶数のカードの選び方は
　5C4=5C1=5（通り）
あり、それぞれについて4枚の偶数のカードの並び方が
　4P4=4!（通り）
あるのでこの場合の数は
　7!*5*4!（通り）
[2]また、偶数のカードが5枚連続して並ぶ場合も同様に考えて
　6!*5!（通り）
ただし、[1]の中に、連続する4枚の隣にもう1枚のカードが並ぶ場合が12*5C4*4!通りあるので、[1]と[2]の合計からこの部分を除いたものが求める場合の数である。
よって求める確率は
　{(7!*5*4!)/10!}+{(6!+5!)/10!}-{(12*5*4!)/10!}
　=(1/6)+(1/42)-(1/2520)
　=479/2520

となったのですが、数も微妙だし、あまり自信がありません。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.5

nag0720 · ベストアンサー

＞[1]-[2]で4枚以上並ぶ場合が尽くせるということは、
＞[1]の中に、5枚連続してならぶ［2］の場合が
＞そっくり全部2通りずつ含まれているということでしょうか？
＞5枚並ぶ場合はそこに全部あるということでいいのでしょうか？

5枚連続していれば、当然4枚連続していることでもありますから、[2]の並べ方は全て[1]に含まれています。
また、その連続した5枚は、4枚+1枚と考えた場合と、1枚+4枚と考えた場合の両方が[1]に含まれています。

お礼

なるほど・・・

＞5枚連続していれば、当然4枚連続していることでもありますから、[2]の並べ方は全て[1]に含まれています。
＞また、その連続した5枚は、4枚+1枚と考えた場合と、1枚+4枚と考えた場合の両方が[1]に含まれています。

ようやく、仄かにわかりかけてきたような気がします。
何度もありがとうございました。
また、よろしくお願いします。

回答No.4

naniwacchi

#1の者です。
早合点をしていたようで、すみません。
「少し単純に考えすぎか」としばらく考えていたのですが、
5枚連続＝4枚＋1枚であれば、＝3枚＋2枚（＝2枚＋3枚）もありますよね。
そう考えると、まだ数えすぎということに気がつきました。

あと、#2さんが指摘されているとおり
・4枚「だけ」連続なのか
・とりあえず4枚（5枚でも可）連続なのか
も質問者さんの回答を見ていて疑問でした。
#1の回答では、4枚だけと想定していました。

ややこしくしてしまって、すいませんでした。

お礼

こちらこそ、問題文をきちんと書けていなくて失礼しました。
もれなく重複なく数えあげるのは難しいですね（泣）

回答No.3

nag0720

＞[1]で数えた中に[2]の場合が含まれているということなんでしょうか？

含まれているのは当然なんですが、それが[1]の中に２つづつ存在します。

問題を簡単にするために、
「1,2,3,4,5,6の6枚のカードを１列に並べるとき、偶数の書かれたカードが2枚以上連続する並べ方」
を考えてみましょう。

[1]の考え方は、
連続して並ぶ2枚のカードをひとまとめにして考えると、
残り4枚のカードと合わせて5個のものの順列となるので
　5P5=5!（通り）
連続して並ぶ偶数のカードの選び方は
　3C2=3C1=3（通り）
あり、それぞれについて2枚の偶数のカードの並び方が
　2P2=2!（通り）
あるのでこの場合の数は
　5!*3*2!=720（通り）

しかし、カード６枚の並べ方も、6!=720　です。

[1]の中に重複しているものがないとすると、どんな並べ方をしても偶数２枚が並ぶという不可思議なことになってしまいます。

お礼

ありがとうございます。
[1]-[2]で4枚以上並ぶ場合が尽くせるということは、
[1]の中に、5枚連続してならぶ［2］の場合が
そっくり全部2通りずつ含まれているということでしょうか？
5枚並ぶ場合はそこに全部あるということでいいのでしょうか？

回答No.2

nag0720

問題文は、偶数が５枚連続して場合も含むのでしょうか？
４枚以上連続して並ぶ確率なら、[1]-[2]で計算していいですが、
４枚だけ連続して並ぶ確率なら、[1]-[2]ではありません。

以下は、４枚だけ連続して並ぶ場合を回答します。

例えば、
2,4,6,8,10,1,3,5,7,9
と並んでいる場合、
[1]では、
[2,4,6,8],10,1,3,5,7,9
2,[4,6,8,10],1,3,5,7,9
の並べ方の２通りに数えています。
従って、[2]を引くとき倍にして引かなければなりません。
[1]-[2]×2
=7!*5*4!-6!*5!*2
=6!*5!*(7-2)
=6!*5!*5

別解として、
偶数４枚が並ぶ位置が端の場合と、端以外の場合に分けて考えます。
◎○○○○○○
○◎○○○○○
４枚が並ぶ位置が端の場合は、残りの偶数１枚が並ぶ位置は５箇所、端以外の場合は４箇所あります。
よって、５×２＋４×５＝３０
以上から、偶数が４枚並ぶ並べ方は、
30*5!*5!
=6!*5!*5

確率は、
5/42

お礼

ありがとうございます。
問題は

1から10までの数が書かれた10枚のカードを一列に並べるとき
偶数の書かれたカードが「4枚以上」連続して並ぶ確率を求めよ

です。「以上」が抜けていました。すみません（汗）

「4枚以上」並ぶ確率ならば[1]-[2]ということですので

　{(7!*5C4*4!)/10!}-{(6!+5!)/10!}
={(5*4*3*2*1)/(10*9*8)}-{(5*4*3*2*1)/(10*9*8*7)}
=(1/6)-(1/42)
=(7-1)/42
=1/7

でいいのでしょうか？
[1]から[2]を引くというのは、
[1]で数えた中に[2]の場合が含まれているということなんでしょうか？
まだ、よくわかっていません。。

回答No.1

naniwacchi

[2]の6！*5！を求めるところまではいいと思います。

その後ですが、
＞連続する4枚の隣にもう1枚のカードが並ぶ場合が12*5C4*4!通り
これが「5枚並ぶこと」と同じになります。
言い換えれば、5枚並んでいるということは、その中で必ず4枚並んでいるということです。
つまり、[1]で求めた場合の数には、[2]の場合の数が含まれていることになります。

求めたい場合の数は、[1]－[2]の計算で求められます。

お礼

[1]-[2]で求められるのですか。
こね回しすぎてたのですね（汗笑）
どうもありがとうございます。