ヘッシアンが0になった場合

質問

極値の判定でヘッシアンが0になった場合、ヘッセ行列のほかの固有値を調べることで極値を持つかどうか判定できると聞きました。
具体的に、固有値がどうなった時に極値を持つのかが書かれた本やサイトを紹介してください。
何冊か本を調べましたが「ヘッシアンが0の時はこの方法では分からない」としか書かれていません。
よろしくお願いします。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

一般に「ヘッシアンが0になった場合、ヘッセ行列のほかの固有値を調べることで極値を持つかどうか判定できる」ということはないと思われます。
　f(x,y) = x^2 +y^3
　g(x,y) = x^2 +y^4
とすると(0,0)でのヘッセ行列の固有値はともに0と2ですが、明らかにｆは極値を持たず、ｇは極値を持ちます。

お礼

「ほかの固有値を調べることで・・・」は他の質問に対する回答で知ったのですが、問題の答えと食い違うことがあって疑問に思ったので質問しました。
すっきりしました。
ありがとうございます。

回答No.3

grothendieck

臨界点でヘッシアンが０のとき、臨界点近傍の関数の振る舞いはトムの７つの初等カタストロフィーのどれかになります。しかしそれをきちんと説明することは非常に大変で、多くの本には「ヘッシアンが0の時はこの方法では分からない」としか書かれていないのです。しかしこれは興味深いカタストロフィーに触れないことになり、残念なことです。標準形に直すためにはシエルマのアルゴリズムなどが知られています。ヘッセ行列が退化しているときの臨界点は
　野口広、福田拓生「初等カタストロフィー」（共立出版）
などをご覧ください。

回答No.1

grothendieck

ヘッシアンが０のときの特異点は、アーノルドのカタストロフィーで分類されています。
Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992. 150 p. $27.