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関数

関数f(x)は次の条件を満たしている 0≦x＜1 のとき、f(x)=x^3 実数xに対してf(x＋1)=f(x)＋3x^3＋3x このとき f(x)＋f(-x)　は？ f(x)=f(x＋1)-3x^3-3x まではわかります

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  • nag0720
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回答No.1

0≦x＜1 のとき、f(x)=x^3 実数xに対してf(x+1)=f(x)+3x^3+3x ---- （これは、x＜0 , x≧1　の場合だけですよね） ＞f(x)+f(-x)　は？ 0≦xの場合だけ考えます。 x=0 の場合は、 f(x)+f(-x)=0 0＜x＜1の場合は、そのまま代入して、 f(x)+f(-x)=x^3+f(1-x)-3(-x)^3-3(-x) 　　　　　=x^3+(1-x)^3+3x^3+3x 　　　　　=3x^+3x^2+1 x≧1の場合は、 x=n+a （nは正の整数、0≦a＜1） とすると、 f(n+a)=f(n+a-1)+3(n+a-1)^3+3(n+a-1) この式から、 f(n+a)=f(a)+Σ(3(i+a-1)^3+3(i+a-1)) (i=1・・・n) また f(x)=f(x+1)-3x^3-3x であることから、 f(-n-a)=f(-n-a+1)-3(-n-a)^3-3(-n-a) 　　　　=f(-n-a+1)+3(n+a)^3+3(n+a) この式から、 f(-n-a)=f(1-a)+Σ(3(i+a)^3+3(i+a)) (i=0・・・n) ただし、a=0の場合は、 f(-n)=f(0)+Σ(3i^3+3i) (i=1・・・n) あとは、 f(n+a)+f(-n-a)を計算すればOK おおざっぱですがこんな感じですかね。

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