四面体の内積について
- 四面体の内積とは何かを解説します。
- 四面体内の任意の点Pにおける体積座標λiの求め方について説明します。
- 点Pが辺PiPkにある場合の内積の求め方と、任意の場所に点Pをとる場合の違いについて考察します。
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四面体の内積について
次のような問題です。 直交座標系xyzが定義された四面体Pi,Pj,Pk,Pl内に任意の点Pを考えたとき、体積座標λiは、 λi ＝（四面体P,Pj,Pk,Plの体積）/（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積） で与えられる。というもので、次のものを求めます。 （１）λi （２）点Pが辺PiPkにあるときの内積 （λi・gradλj-λj・gradλi）・ベクトルPi,Pk （１）については、スカラー三重積を用いて簡単に求められましたが、λjがよく分かりません。λiと同じ要領で,ベクトルPl,PとPl,Pkの外積と、ベクトルPl,Pjとの内積をとり、それを四面体P,Pj,Pk,Plの体積として、四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積で割ってみたのですが、はたしてこれが体積座標λjなのでしょうか？そもそも「点Pが辺PiPkにあるとき」 と、「任意の場所に点Pをとるとき」とでは、何が変わってくるのでしょうか。 長文でわかりにくいかもしれませんが、どなたか詳しい説明をお願いできないでしょうか？
- mkniku75
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体積座標λｉ＝（四面体P,Pj,Pk,Plの体積）/（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積） で定義されているので 体積座標λｊ＝（四面体P,Pi,Pk,Plの体積）/（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積） です。
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- makiossk
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そうすると（２）の“－”の存在と一致するでしょう。
補足
ああ計算すると確かに..。汗）何度もレベルの低い質問をすいませんが、結局のところλiとλjの違いとはなんなのでしょうか？
- makiossk
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四面体Pi,Pj,Pk,Plを２つの四面体P,Pj,Pk,Plと四面体Pi,Pj,P,Plに分けて考えるよう導いているのだと思います。
お礼
ええっと、つまり、 四面体Pi,Pj,P,Plの体積は （四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積）－（四面体P,Pj,Pk,Plの体積） で、λj ＝（四面体Pi,Pj,P,Plの体積）/（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積）ということなのですか？
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お礼
回答に感謝します。自力で解けるようがんばります。