四面体の内積について

質問

次のような問題です。
　直交座標系xyzが定義された四面体Pi,Pj,Pk,Pl内に任意の点Pを考えたとき、体積座標λiは、

　λi　＝（四面体P,Pj,Pk,Plの体積）/（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積）

　で与えられる。というもので、次のものを求めます。

（１）λi
（２）点Pが辺PiPkにあるときの内積
（λi・gradλj-λj・gradλi）・ベクトルPi,Pk

　（１）については、スカラー三重積を用いて簡単に求められましたが、λjがよく分かりません。λiと同じ要領で,ベクトルPl,PとPl,Pkの外積と、ベクトルPl,Pjとの内積をとり、それを四面体P,Pj,Pk,Plの体積として、四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積で割ってみたのですが、はたしてこれが体積座標λjなのでしょうか？そもそも「点Pが辺PiPkにあるとき」
と、「任意の場所に点Pをとるとき」とでは、何が変わってくるのでしょうか。
　長文でわかりにくいかもしれませんが、どなたか詳しい説明をお願いできないでしょうか？

回答No.3

makiossk · ベストアンサー

体積座標λｉ＝（四面体P,Pj,Pk,Plの体積）/（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積）
で定義されているので
体積座標λｊ＝（四面体P,Pi,Pk,Plの体積）/（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積）
です。

お礼

回答に感謝します。自力で解けるようがんばります。

回答No.2

makiossk

そうすると（２）の“－”の存在と一致するでしょう。

補足

ああ計算すると確かに..。汗）何度もレベルの低い質問をすいませんが、結局のところλiとλjの違いとはなんなのでしょうか？

回答No.1

makiossk

四面体Pi,Pj,Pk,Plを２つの四面体P,Pj,Pk,Plと四面体Pi,Pj,P,Plに分けて考えるよう導いているのだと思います。

お礼

ええっと、つまり、　四面体Pi,Pj,P,Plの体積は

（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積）－（四面体P,Pj,Pk,Plの体積）

で、λj　＝（四面体Pi,Pj,P,Plの体積）/（四面体Pi,Pj,Pk,Plの体積）ということなのですか？