ベクトルの内積の求め方について

質問

先日ベクトルを習いました。

そもそも三角関数の時点でつまづいていますが
授業が普通の授業では無いので
復習をする時間も無ければ、それまでにつまづいていた中学箇所の復習もできず

この状態でベクトルの内積の求め方でつまづくのは当たり前なのですが
質問させていただきます。

三角関数ができないとベクトルの部分は難しいというのは重々承知の上ですので
三角関数を先にやってから等々の回答はご遠慮させていただきます。

問題は

[A]=2[i]+3[j]-[k]
[B]=[i]-3[j]+2[k]のとき
内積[A]・[B]を求めなさい。

[]は全てベクトルです。

で、
その前に内積の求め方を
[A]・[B]=|A||B|cosθ

と習っており
この式の意味も分かっていたのですが、
（例えるなら1+5=2+3ということですよね）

この問題を解きなさいって言われた時に
それまでで、色々分からないことだらけで、
どうしよう、と焦ってしまい
上記の求め方の式を例えると3=1+2という感じに勘違いしてしまいました。

答え合わせの時に、なんで、こんな勘違いをしたんだろうという事は思いました。
ただ、係数だけを掛け算するというのは分からなかったので、
単純に両者を掛けたとしても、答えは間違っていたと思います。

なので本来は普通に両者を掛ければいいのですが
勘違いしてしまったので、両者の絶対値を掛けて、cosθを掛ける？という解き方をしたのですが
式が上手く組み立てられず私は下記のような解き方をしました。

（そもそも三角関数分からないので、cosθをどのような形で使えばいいかが分かりませんから、こちらの式でも答えには行き着かないので、結果|A||B|の計算というような感じです。

絶対値は係数の2乗の平方根ということは教わったので
2^2+3^2-1^2　　1^2-3^2+2^2
＝√12　　　　　√－４
＝－√４８

ちなみにですが、|A||B|の計算と考えたら、上記の式はあっていますか？

見て分かるかと思いますが、前半が|A|で後半が|B|です。
その間にスペースを置いたのは、ノートにもそう書いてます。
その間に入れる符号等が分からなかったのでそうしました。
ただ√12と√－4は掛け算なので、その部分には×を入れても良かったのですが、
それまで符号を入れなかったので、入って無いという感じです。

符号が入ってない時点で式としておかしいのは分かっていますが
書き方が分からなかった物で
|A||B|だとするならば、掛け算ですが、前半と後半それぞれに（）をつけて
×を間に挟むと、展開みたいなかけ方になるからおかしいよなと思い書けませんでした。

|A||B|cosθは私は解けないので
|A||B|と見た場合に、上記解き方は合っていますか？
この場合、符号をどういうふうに書けばいいのかも教えて欲しいです。

また、間違っている場合は、どう間違っているか教えていただけると助かります。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>ただtknakamuriさんは内積は各成分同士の積の和と書かれているのですが
>それがよく分かりません。

[A]=(a, b, c), [B]=(d, e, f) なら

[A]・[B] = ad + be + cf

ということです。

お礼

何度も回答頂きありがとうございます。

そういう意味だったんですね。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

まだやってるようなので、とりあえず2次元の証明だけ残して起きます。

ベクトルの[A]の長さをra, 向きを θa
ベクトルの[B]の長さをrb, 向きを θb

とすると、成分表示では

[A]=(ra・cosθa, ra・sinθa)
[B]=(rb・cosθb, rb・sinθb)

内積は成分同士の積の総和なので
[A]・[B]=ra・rb・cosθa・cosθb + ra・rb・sinθa・sinθb = ra・rb・cos(θb-θa)

|A|=ra, |B|=rb, θb-θa = θ なので

[A]・[B]＝|A||B|cosθ

ちょっと骨が折れますが3次元でも同じ式が成り立ちます。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>内積は各成分同士の積の和なんですか？
>[A]・[B]=|[A]||[B]|cosθ（絶対値もベクトルなのに質問文では[]を付けていませんでした）
>こうならったのですが、違うのでしょうか？

復習しましょう。この二つが同等であることは内積の基本なので
教科書には必ず書いてあるはずですよ。

それから |A| はベクトルの大きさを表し、ピタゴラスの定理を使って
ベクトルの大きさを計算しています。

なので、意味を知っていれば、平方根の中身がマイナスになるような答えは
（答えが複素数になるような答えは）ありえないことがすぐにわかるはずです。

補足

日にちが空いてしまいすみません。

[A]・[B]=|[A]||[B]|cosθに関してですが

＞復習しましょう。この二つが同等であることは内積の基本なので
教科書には必ず書いてあるはずですよ。

これは分かります。教科書にも書いてあります（教科書は大学独自の先生が用意したプリントを使っています）

ただtknakamuriさんは内積は各成分同士の積の和と書かれているのですが
それがよく分かりません。
和という事は、上記の式の＝が＋になるという事ですよね（前後それぞれに（）がついて）？

回答No.3

adachirusan

ごめんなさい訂正箇所があります。

× ABベクトル = (2 . 3 . -1) + (1 . -3 . 2) = (-1 . -6 . 3)

○ ABベクトル = (1 . -3 . 2) - (2 . 3 . -1) = (-1 . -6 . 3)

回答No.2

adachirusan

まず、内積の求め方は二種類あります。

[A]・[B] = |A| |B| cosθ
（Aの長さ × Bの長さ × なす角の余弦）

また成分が分かっている場合には成分をそれぞれ
(a1 . a2 . a3) 、(b1 . b2 . b3)として

[A]・[B] = a1・b1 + a2・b2 + a3・b3
で求めることも可能です。

なのでこの問題も上の式で求めることが出来ます。
原点をOとした場合の、△OABのOA、OBの長さと∠AOBの余弦を求めてその3つを掛ければいいです。

OAの長さ（|A|）= √2^2 + 3^2 + (-1)^2 = √14
OBの長さ（|B|）=√1^2 + (-3)^2 + 2^2 = √14

cosθを図形的に求めるには、ABの長さ（ABベクトルの長さ）を求めて余弦定理を使えば求められます。

ABベクトル = (2 . 3 . -1) + (1 . -3 . 2) = (-1 . -6 . 3)
ABベクトルの長さ = √(-1)^2 + 6^2 + 3^2 = √46
三角形の3辺の長さが分かれば、後は余弦定理の式に代入するだけでcosθが分かります。

(√46)^2 = (√14)^2 + (√14)^2 - 2 × √14 ×√14 cosθ

- 2 × √14 ×√14 cosθ = 46 - 28

- 28 cosθ = 18

cosθ = - 9/14

よって、|A| |B| cosθ = √14 × √14 × - 9/14 = - 9 （同じ値になる）
図形的に求めるとこんな感じでしょうか。

まとめると、[A]・[B] = |A| |B| cosθ か、成分の積で求めるかは場合によるということです。

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それとNo.1さんは成分の積で内積を求めてから、

[A]・[B] = |A| |B| cosθ より、
cosθ = [A]・[B] /|A| |B|
なので、cosθ = - 9/14 としてコサインを求めています。
つまり、内積が分かればコサインもすぐに分かるのでわざわざ三角を書いたりする必要はありません（爆）
いかがでしょうか⁇

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

>[A]=2[i]+3[j]-[k]
>[B]=[i]-3[j]+2[k]のとき
>内積[A]・[B]を求めなさい。

[i], [j], [k] は デカルト座標の x, y z 軸方向の
単位ベクトルだと思いますが、そうすると成分表示では

[A]=(2, 3, -1)
[B]=(1, -3, 2)

内積は各成分同士の積の和なので

2 x 1 + 3 x (-3) + (-1) x 2 = -9

|A|=√(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = √(14)
|B|=√(1^2 + (-3)^2 + 2^2) = √(14)
|A|・|B|=14
なので cosθ=-9/14 → θ=130.005度

お礼

回答ありがとうございます。

ノートを見返したら、-1と-3にカッコが付いていないという初歩的なミスをしており結果が間違っておりました。

内積は各成分同士の積の和なんですか？
[A]・[B]=|[A]||[B]|cosθ（絶対値もベクトルなのに質問文では[]を付けていませんでした）
こうならったのですが、違うのでしょうか？