物理学での内積の計算方法

質問

物理の問題ですが、数学的な内容のため、こちらでも質問させていただきます。
どうしても内積の計算がわからなくて…。
(1)までの前置きが少し長いですが、解答解説をよろしくお願いします。

問題

点O(0,0,0)を中心としてxy平面上に半径aの円環形の導線を置き、一定の電流Iを流す(図１)。この電流が点Q(0,0,z)につくる磁場Bベクトルをビオサバールの法則

Bベクトル=μ_0*I/4π*∫dsベクトル×rベクトル/r^2 （μ_0は真空の透磁率）

を使って求める。ここでrベクトルは導線上の点(Pとする)から点Qに伸ばしたベクトルで、dsベクトルは点Pにおける導線の接線方向の微小線素である。

(1)円環上の点をP(x,y,0)とし、以下の文章のカッコを適当な数式でうめよ。

『OPとx軸が成す角θと半径aを用いて、P（(ア),(イ),0）と表せる。微小線素dsベクトルの大きさは、角度θの微小変位dθを用いて(ウ)とかけ、dsベクトルがOPベクトルと直行することからその成分はdsベクトル=（(エ),(オ),0）とかける。またrベクトル=PQベクトル=（(カ),(キ)(ク)）なので、dsベクトル×rベクトルはz成分のみが値を持ちその大きさは(ケ)となる。』

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

＞dsベクトル×rベクトルはz成分のみが値を持ちその大きさは(ケ)となる。

こんなことはありません。 dsベクトル×rベクトルを前周にわたって積分するからz成分のみ残るということです。つまり中心点Oに関する円周上の対称点における線素の値が消しあってｘ成分、ｙ成分は0になります。
Bベクトルの式が間違っています。正しくは

Bベクトル=μ_0*I/4π*∫dsベクトル×rベクトル/r^3

rは線素と測定点(0,0,z)との距離でr=√(a^2+z^2)です。

Θは打つのが面倒なのでtで表します。

ア　acost

イ asint

ウ adt

エ -asintdt

オ acostdt

カ -acost

キ -asint

ク z

dsベクトル×rベクトル(azcostdt,azsintdt,a^2dt)

これをt=0～2πで積分するとx成分、y成分は0、z成分は2πa^2

ケ　a^2dt　　

Bベクトルのz成分=(Iμ0/4π)×(2πa^2)/r^3=(Iμ0/2a)(a/r)^3=(Iμ0/2a)(a/√(a^2+z^2))^3

お礼

本当に助かりました。ありがとうございます！！！