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指数法則の証明
aとbが積・について可換ならば、有理数rについて (a・b)^r=(a^r)・(b^r) が成立することを示したいのですが、 分かりません。ネット上を検索したところ、成立することを示せ という問題はあったのですが、答えは見つかりませんでした。 証明してほしいのですが、証明の際にはどこで可換であることを 用いたか示してもらえるとありがたいです。
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(ab)~r は、ababab…ab と r 組の ab が並びます。 ab = ba を使って、途中 ba と並んでいる箇所を ab に逐次交換してしまえば、最終的に aaa…abbb…b すなわち (a~r)(b~r) になります。 形式を少し整えたければ、 r に関する帰納法にしてみれば いくらか見栄えがするかもしれない。
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- Willyt
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左辺、右辺、それぞれの対数を取り、それが等しいことを証明すればいいわけです。 左辺の対数=log(a・b)^r=rlog(a・b)=r(loga+logb) 右辺の対数=log{(a^r)・(b^r)}=log(a^r)+log(b^r)=rloga+rlogb =r(loga+logb) 従って 左辺の対数=右辺の対数 故に (a・b)^r=(a^r)・(b^r)
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