高度分布の問題を教えてください。。。

質問

高度による温度変化がない、絶対温度T=一定の気体がある。
気体分子は一種類とし、その分子一個の質量をmとする。
高さZの場所での個数密度をn(z)とするとき、高度分布n(z)を求めなさい。
ただし、PV=NkT、それゆえ、P=nkTが成り立つとしてよく、重力加速度gの高度による変化は無視する。

といった問題なのですが、まず何をすればいいかも見当がつかないのですが、是非是非皆様の知恵を貸していただけないでしょうか？お願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

適当な底面積Sの柱(円柱でも直方体でも何でもよい)を考えます。
この柱の高さz～z+dzの部分に注目します。

この部分にある気体にかかる力は3つ。
(1)気体にかかる重力
(2)下面に受ける上向きの圧力
(3)上面に受ける下向きのある力

定常状態で考えるとすると(1)(2)(3)の力をつりあわないといけない。
つまり(1)+(3)=(2)

(1)は気体の"質量×重力加速度"であり、気体の質量は"分子の個数×分子1個の質量",分子の個数は"体積×個数密度"であり、体積は"底面積×高さ"
よって、
Sdz*n(z)*m*g となる。

(2)は"下面の圧力×底面積"であり、下面の圧力P(z)=n(z)kT
よって
S*n(z)kT となる。

(3)は同様に
S*n(z+dz)kT

(1)+(3)=(2)より
Sdz*n(z)*mg+S*n(z+dz)kT=S*n(z)kT→mgn(z)dz+n(z+dz)kT=n(z)kT

n(z+dz)=n(z)+(dn/dz)dzを上記の式に代入するとn(z)に関する微分方程式が得られます。

お礼

丁寧かつ迅速な回答ありがとうございました！！
本当に助かりました！