• 締切済み

関数解析について

grothendieckの回答

回答No.1

1. は  T.Kato,"Perturbation Theory for Linear Operators",2nd ed. (Springer) のp.151, Lemma 3.7. です。コンパクトでない集合上では、有界線形作用素列が強収束しても一様収束はしないことがあります。  田辺広城「関数解析:上」P.106(実教出版)

関連するQ&A

  • 関数解析

    1.X,Yはバナッハ空間、TはDを定義域とするXからYへの閉線形作用素、SはEを定義域とするXからYへの可閉線形作用素で、D⊂Eが成り立っているとする。 (1)ある定数a∈(0,1),b≧0が存在し、任意のx∈Dに対して ||Sx||≦a||Tx||+b||x|| が成り立つならば、Dを定義域とするT+Sは閉作用素となることを示せ。 (2)a=1において(1)が成り立たないような反例をあげよ。 2,各t>0に対しT(t)はバナッハ空間XからXへの有界線形作用素であり、任意のx∈Xに対し、Xの位相でlim[t→+0]T(t)x=xが成り立っているとする。 このときε>0を十分小さくとれば、T(t)の作用素ノルムは区間t∈(0,ε)上で有界であることを一様有界性定理を用いて示せ。 この2問がわかりません。。どなたか解答をよろしくお願いします・・・

  • 関数解析の問題です。。

    1.{xn}(n=1,∞)はバナッハ空間Xの点列でxに弱収束し、{ξn}(n=1,∞)はXの双対空間X’の点列でξに強収束するものとする。このとき数列{<xn,ξn>}は<x,ξ>に収束することを示せ。 2.{xn}(n=1,∞)はヒルベルト空間Xの点列でxに弱収束し、数列{||xn||_X}は||x||_Xに収束するものとする。このとき{xn}(n=1,∞)はxに強収束することを示せ。 1、2ともに{xn}が弱収束するので、fを有界線形汎関数として ||f(xn)-f(x)||<ε  for ∀ε と仮定できます。 1の場合、これにプラスして仮定から ||ξn-ξ||<ε とでき、このとき ∀ε>0に対して∃N s.t. ||<xn,ξn>-<x,ξ>||<ε を示せばいいんですよね? このあとどのように||<xn,ξn>-<x,ξ>||を変形したらいいのかわかりません。 2についてもどのように変形していけばいいのかわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか?

  • 関数解析の問題で

    S,TがともにXからYへの閉作用素とする。 D(S)⊂D(T)であれば、 ∥Tx∥Y≦a(∥Sx∥Y+∥x∥X)(x∈D(S)) となるような定数a>0が存在することを示せ。 閉グラフ定理を用いて証明することぐらいは わかるのですが、その証明の仕方がわかりません。 何方か教えていただけるようよろしくお願いします。 (∥・∥X、∥・∥YはそれぞれXのノルム、Yの ノルムの事です)

  • 関数解析関連の質問です。

    q∈C[a,b]とし、u∈C[a,b]に対して Qu=q(t)u(t)(a≦t≦b)と定める。 このとき(1)Q∈L(C[a,b],C[a,b]) (2)||Q||=||q||_∞=max(a≦t≦b)|q(t)| をそれぞれ示せ。 C[a,b]はf:[a,b]→K,f:連続写像を満たす写像全体の集合。 L(X,Y)はXからYへの有界線形作用素全体の集合です。 以下C[a,b]をXと表記します。 ∀u∈Xに対してQu∈Xを示します。 示すといっても連続関数の合成は連続なのでOK。 よってQu∈XこれによってQ:X→Xが言えたことになる。 これで線形性はOK? 次にQ∈L(X)を示す。 ∀t∈[a,b]に対して|Qu(t)|=|q(t)u(t)|≦|q(t)u(t)| ≦{max(a≦t≦b)|q(t)|}|u(t)| でこの式の右辺が有界であることが示されれば まず有界であることにより||Qu||_∞が有界となるので、 Q∈L(X)がわかり、同時に||Q||=||q||_∞が示されると思うのですが、 右辺が有界であることはどのように示されるのでしょうか?

  • 非線形解析について

    非線形解析について 問1. T∈B(X,Y)ならば、N(T)={x∈X; Tx=0}はXの閉部分空間であることを示せ

  • 関数解析の問題です

    こんばんは。 今回の期末試験に次のような問題がでました。 問. Xは複素バナッハ空間でUは複素平面Cの開集合であるとする。各z∈Uに対してX上の有界線形作用素T(z)が定義され、任意のz、w∈Uに対して等式 T(z)-T(w)=(w-z)T(z)T(w) が成立しているとする。 (1)任意のz、w∈Uに対し、T(z)とT(w)は可換であることを示せ。 (2)T(z)の値域はz∈Uに依存しないことを示せ。 (3)あるz0∈Uに対してT(z0)が単射ならば、任意のz∈Uに対してT(z)は単射であることを示せ。 (4)あるz0∈Uに対してT(z0)がコンパクト作用素ならば、任意のz∈Uに対してT(z)はコンパクト作用素であることを示せ。 (1)はできたのですが(2)で詰まってしまいました。 与えられた等式をT(z)について解いて評価してみたのですがうまくいきません。 (3)(4)についても等式をどのようにして用いればよいのかさっぱりです。 単射、コンパクト作用素の定義はもちろん知っているのですが・・・ どなたか教えていただけないでしょうか?

  • 関数解析の問題です。

    以下の問題で困ってます。どなたか解答をお願いしたいんですが。。 1.{xn}(n=1,∞)はバナッハ空間Xの点列でxに弱収束し、{ξn}(n=1,∞)はXの双対空間X’の点列でξに強収束するものとする。このとき数列{<xn,ξn>}は<x,ξ>に収束することを示せ。 2.{xn}(n=1,∞)はヒルベルト空間Xの点列でxに弱収束し、数列{||xn||_X}は||x||_Xに収束するものとする。このとき{xn}(n=1,∞)はxに強収束することを示せ。 よろしくお願いします。。

  • 連続関数空間上の有界線型汎関数の近似

    B={[0,T]→R;conti}を有限区間[0,T]上の実数値連続関数の全体として、一様ノルムを入れてバナッハ空間とみなします。 [0,T]の任意有限個の時刻t_1,…,t_nと任意の実数ξ_1,…,ξ_nを固定して、 B∋w→ξ_1w(t_1)+ξ_2w(t_2)+…+ξ_nw(t_n) によってB上の有界線型汎関数が定まります。そこでこのタイプの汎関数を有限個の時刻のみで決まる汎関数と呼ぶことにします。 示したい問題は、B上の任意の有界線型汎関数φ∈B*に対して、有限個の時刻のみで決まる汎関数の列φ_nがあって、φに汎弱収束する(i.e.任意のw∈Bに対して、φ_n(w)→φ(w)が成り立つ)という命題です。 直感的には連続関数空間に一様ノルムを入れているので、可算個の点の情報だけで汎関数は決定されるべきですが、きちんと証明しようとすると躓きました。特に与えられたφに対してφを近似するようなξをうまく取ってくることができず証明が終わりません。たとえばBは可分なのでdense subsetを取り、その中からn個を取って、φ_nを作る、というようなことを考えたりしたのですが、φ_nのノルムの一様有界性が出なかったりで苦戦しています。このような方針はよくないのでしょうか。 ヒントでも構わないので、何かコメント頂けるとうれしいです。たぶんそれほど難しい問題ではないとは思うのですが...

  • 近似固有値と固有値の違い

    ヒルベルト空間Hがあるとします。Hの元xのノルムを||x||と書く事にします。 有界線形作用素T(:=H→Hの有界線形写像)があって、 ある複素数λと、Hの元の列x_1,x_2,・・・ (∀n ||x_n||=1)に対して、 lim[n→∞]||(T-λI)x_n||=0 (Iは恒等作用素) を満たす時、λをTの近似固有値と呼ぶそうです。 この「近似固有値」は、「固有値」とどのように違うのでしょうか? あるいは、ヒルベルト空間Hが、C^nである場合,L^2(二乗可積分な関数)である場合等、どのような場合であっても構わない(内積も適当に)のですが、 近似固有値ではあるが、固有値ではない例を教えて頂けると嬉しいです。

  • 緩増加超関数について

    定義 Tが緩増加超関数であるとは、 1.TはS上の線形写像、ただしSは急減少関数全体とします 2.Tは連続、i.e.任意のφ,φn∈Sに対してφn→φならT(φn)→T(φ) 2の定義中にあるφn→φ(n→∞)の意味なんですが これはSにある位相をいれてあってその位相に関して収束するという意味です ここではその位相の紹介は省きます またT(φ)のことを<T,φ>と書きます 例 δ関数を次のように定義するとδ関数は緩増加超関数です <δ,φ>=φ(0)、φ∈S 証明は定義の1,2を確かめればいいので省きます ここからが本題なのですが このデルタ関数が積分の中にでてくるのをよく見ます たとえば ∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy・p(x)・p(y)・δ(z-x/y) などです。 このδ関数はz-x/yに作用しているのですが これは上の定義のようなS上の関数にはなっていません あたかも普通の関数のように扱われています しかし、普通の関数としたら (今pは連続分布という仮定があります) この測度0上で値をとる関数なのでこの積分は0になるはずです ではどうしてこのように混同して書かれているのでしょうか? ぜひ教えてください