微分可能性について

質問

ある国立大学院の過去問題です
f(x)がｘ＝aで連続ならば、(x-a)f(x)はx=aで微分可能となるか、答えを裏付ける証明か反例を示せ

どなたか解説お願いします。

回答No.5

noname#101087

#4 またもやミス。
「f(x)がｘ＝aで連続」を忘却してました。

そろそろ、懲りてます。
「f(x)がｘ＝aで連続」なら、(x-a)f(x)はx=aで微分可能みたいです。

回答No.4

noname#101087

懲りずに、また NG の一例だけ。

a = 0 としても一般性を損なわない。
　f(x) = 1/(x-1)　　: x＜0
　f(x) = 1/(x+1)　　 : x≧0

xf(x) = F(x) とすると、
　F'(-0) = -1
　F'(+0) = +1

これは、x = 0 で連続・微分不能。

回答No.3

noname#101087

#2 は、連続・微分可能でした。

取り消します。
失礼。

回答No.2

noname#101087

>f(x)がｘ＝aで連続ならば、(x-a)f(x)はx=aで微分可能となるか、......

NO の一例だけ。

a = 0 としても一般性を損なわない。
　f(x) = + SQRT(x)　　 : x≧0
　f(x) = - SQRT(-x)　　: x＜0

x*f(x) は x = 0 で連続・微分不能。

回答No.1

euc107

g(x)＝(x-a)f(x)
とおく。
(g(a+h)-g(a))/h＝hf(a+h)/ｈ＝f(a+h)→f(a)、ｈ→０
となるのでｇはaで微分可能です。