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微分方程式

微分方程式の復習をしているのですが (1)y'+2y=sin3x (2)y'+4y=1+2x (一般解を求める) (1)y'+3y=1,y(0)=-2 (2)y'+y=cosx,y(0)=0 (初期値問題を解く) 解き方が全く分からないので誰か分かりやすく教えてください。

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回答No.1

y'+2y=0の一般解をy1,y'+2y=sin3x の特殊解をy2とすると、y=y1+y2はy'+2y=sin3x を満たすことがわかります。よって、y1,y2を求めればいい。y'+2y=0の一般解は、dy/dx+2y=0,dy/y+2dx=0,∫dy/y+2∫dx=C(任意定数),logy+2x=C,logy=C-2x,y=e^(C-2x)=De^(-2x),よってy1=De^(-2x)。y'+2y=sin3x の特殊解は、右辺のsin3xより、y2=Asin3x+Bcos3xの形になるようなので、代入。3Acos3x-3Bsin3x+2Asin3x+2Bcos3x=(3A+2B)cos3x+(2A-3B)sin3x=sin3xなので,3A+2B=0,2A-3B=1,これを解いて,A=2/11,B=-3/11,よってy2=(2/11)sin3x-(3/11)cos3x。 よって,y=De^(-2x)+(2/11)sin3x-(3/11)cos3x。この式は当然問題の微分方程式を満たす。また、1階微分なので任意定数は1つ(D)はいっていれば良い。よって、求める解になる。……このような流れですべて解くことができます。残りは自分でやってみましょう。(ちなみに今の計算もザーッとやっただけですのでチェックし手おいてください。)

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