複素数の計算 やり方で結果が違ってしまう

質問

(1+j)/(1-j)の3乗根を求めよ。

上の問題をとくときにやり方によって答えが違ってしまい、？？？なのでご教授願います。

やり方(1)
1+j = expj(π/４ + 2πn) 、 1-j = expj(-π/４ + 2πn) ここでnは定数
よって
(1+j)/(1-j) = expj(π/４ + π/４ + 2πn - 2πn) = expj(π/2)
よって３乗根＝expj { (π/2)×1/3 } = expj(π/6)

やり方(2)
(1+j)/(1-j) = 有利化して計算すると j = expj(π/2 + 2πn)なので
三乗根 ＝ expj { (π/2 + 2πn)×1/3 }　= expj(π/6 + 2πn/3)

やり方(3)
やり方(2)において、そもそも j = expj(π/2 + 2πn)の時点で、
=expj(π/2) ×　expj(2πn)　=　expj(π/2)

なので、３乗根は(1)の時と同じように　三乗根＝expj(π/6)

(1)、(2)、(3)ともやり方が違うだけで本質は同じだと思いますが・・結果が異なります。
これはどういうわけでしょうか？
自分はどこをどう勘違いしているんでしょうか？？？

よろしくお願いします！

回答No.3

banakona · ベストアンサー

(1)　お言葉に甘えて（？）√２は省略することにします。

＞1+j = expj(π/４ + 2πn) 、 1-j = expj(-π/４ + 2πn) ここでnは定数

1+j = expj(π/４ + 2πn) はいいですが、 これに
1-j = expj(-π/４ + 2πn) を並べて書くのは問題です。これでは１＋ｊの偏角と１－ｊの偏角が同期（？）していることになってしまいます。
もちろん同期している必要はありませんから、ここは

1-j = expj(-π/４ + 2πｍ) 　ｍは整数

などと書くべきです（ついでに定数ではなくｎも含めて「整数」とします）。割り算すると

(1+j)/(1-j) = expj(π/４ + π/４ + 2πn - 2πｍ) = expj(π/2＋2π（n - ｍ））

ここで改めてｎーｍ＝ｐ（ｐは整数）とし、３で割れば、めでたく（２）と合流します。

（３）
せっかく（１）の
＞1+j = expj(π/４ + 2πn)・・・
の時点で「偏角はπ/４だけでなく、ここから２πを任意回数たしたり引いたりしても構わないことを、私は知っています！」とアピール（？）したのに、

＞expj(π/2) ×　expj(2πn)　=　expj(π/2)

これでは上記「 」内をケロリと忘れて『やっぱり偏角に2πnは不要です』と宗旨替えをしたことになります。もちろん、2πnは必要ですよ。０≦θ＜２πなどとシバリをつけることが多そうですが。

お礼

確かにｍ、ｎに区別しないでやってました！
それがだめだったんですね。すっきりしました！ありがとうございました

回答No.5

noname#111804

やり方が、間違っているので
結果が違ってくるのではなかろうか。

回答No.4

KI401

結局、複素数の扱いがlazyだからそういうことになる。
正の実数に√をつけるような感覚で軽く「三乗根」って言ってるけど、
それって実際にはどういう計算をしてるのか、理解できてるかい？
同じように計算できて、計算結果は必ず一つなのかな？

んなこたぁない。
高校生でも知ってるように、1の3乗根は3つある。

正の実数に√をつけるのと同じ感覚で計算していることが全ての原因。
複素数のべき乗は、一般に「多価関数」になる。
複素数の世界では、必ず計算に"branch"が生じるぐらいに思っていた方がいい。

だから、途中の計算で2nπがキャンセルしてなくなった(1)とか、
exp(2nπ)があってもなくても同じだよね(3)という考え方は一切関係ない。
途中の計算や考え方がどうであれ、べき乗演算を施した時点で、必ず「2nπ」を考慮しないといけない。
(1)でも(3)でも、途中の計算とかのせいでそれを見失っている。
# ちなみにだから、(1),(3)では「branch」を無視して「主値」だけ計算しているわけだ。

複素べき乗が多価関数だって、じゃぁどう定義されてんのよ？って話だが。
まぁ大学の講義やら参考書やら当たれば書いてあると思うので簡単にm乗根だけ説明するけど、

まず複素対数関数が多価関数で定義されている:
　log(z) = ln(r) + i(θ+2nπ) (但 z = rexp(θ))
次に両辺をmで割る:
　log(z)/m = ln(r)/m + i(θ+2(n/m)π)
両辺expをとる:
　zのm乗根(多価) = R * exp(i(θ+2(n/m)π)) ( R := exp(ln(r)/m) )

a^bという記法は、実数のべき乗と同じ感覚では答えが一つであるように錯覚するが、
複素数の場合、肩に乗ってるbが整数でない限りそれが一つとは保証できない。
なぜならば、複素数のべき乗 a^b が exp(b*log(a)) で定義され、そのlogが多価だからだ。

…要するに。
2nπを持ち出すポイントが違うぜ、ってこと。

参考URL：

http://lemonchord.chu.jp/math/complex_function.html

回答No.2

sanori

こんばんは。

先に、式を簡単にします。
（１＋ｊ）／（１－ｊ）　＝　（１＋ｊ）^2／｛（１－ｊ）（１＋ｊ）｝
　＝　（１^2 ＋ ２ｊ ＋　ｊ^2）／（１^2　－　ｊ^2)
　＝　（１ ＋ ２ｊ －　１）／（１　＋　１)
　＝　 ２ｊ／２
　＝　ｊ

というわけで、絶対値は１のままで、角度　π／２　の回転です。

３乗根は、その回転の３分の１なので、
exp（ｊ（π／２　＋　２ｎπ）÷３）＝　exp（ｊ（π／２　＋　２ｎπ）／６）
です。

----------------------------------------------

＞＞＞
やり方(1)
1+j = expj(π/４ + 2πn) 、 1-j = expj(-π/４ + 2πn) ここでnは定数
よって
(1+j)/(1-j) = expj(π/４ + π/４ + 2πn - 2πn) = expj(π/2)
よって３乗根＝expj { (π/2)×1/3 } = expj(π/6)

１＋ｊ　の絶対値は１ではなく　√２　です。
ですから、1+j = expj(π/４ + 2πn)　ではありません。
√２・exp（なんちゃら）
になります。

＞＞＞
やり方(2)
(1+j)/(1-j) = 有利化して計算すると j = expj(π/2 + 2πn)なので
三乗根 ＝ expj { (π/2 + 2πn)×1/3 }　= expj(π/6 + 2πn/3)

これは、正しいです。

＞＞＞
やり方(3)
やり方(2)において、そもそも j = expj(π/2 + 2πn)の時点で、
=expj(π/2) ×　expj(2πn)　=　expj(π/2)

３乗根は、
９０度÷３　＋　０度　＝　９０度、
９０度÷３　＋　３６０度　＝　３９０度
９０度÷３　＋　７２０度　＝　７５０度
のことではありません。

３乗根は、
（９０度　＋　０度）÷３　＝　３０度
（９０度　＋　３６０度）÷３　＝　１５０度
（９０度　＋　７２０度）÷３　＝　２７０度
のことです。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

２点、質問します。

まず、最初に指摘された√２のことですが、付け忘れてました。。すみません。しかし、√２をつけたところで結局分数の割り算で消えてしまう運命ですから今回の質問には大きな影響がでません。
なぜ、(1)のやり方だとまずいのでしょうか？

次に(3)の指摘ですが、 j = expj(π/2 + 2πn)の時点で、
=expj(π/2) ×　expj(2πn)　=　expj(π/2)
という風に分解してはならないということでしょうか？
数式的に流れは正しくても複素関数という分野においてはむやみに変形、消去をしてはならないということになってしまい、気持ちが悪いです。
数式の変形の手順なんぞで答えが違ってくるのですから。。

やり方(1)とやり方(2)は数式の流れ的には正しいのだけれども、やってはいけない！！っていうことなんですか？いやー気持ちが悪い・・

誰か助けてくださいー

補足

したのお礼でちょっと間違えました。

誤り
やり方(1)とやり方(2)は・・

正
やり方(1)とやり方(３)

回答No.1

spring135

>1+j = expj(π/４ + 2πn) 、 1-j = expj(-π/４ + 2πn) ここでnは定数

こんな無駄な設定は不要です。
1+j = expj(π/４)、1-j = expj(-π/４)
((1+j)/(1-j))^(1/3) =(exp(j(π/2)))^(1/3)=expj(π/6)=√3/2+j/2

お礼

残念ながらそのやり方は正解ではありません・・。問題の答えだけは持っています。
正しい答えは(2)です。つまり、複素数の場合、３乗根は３つあります。
(2)の定数ｎが重要なようです・・

ここで問題なのが、分数でない複素関数の問題であれば、(1)の方法で間違いなく解けます。
しかし、今回は分数の問題ですので、(1)の方法の途中でご覧のように定数nが消えてしまうことに困ってるんです。

なぜでしょう？？
というか、(1)(2)(3)とも途中計算は数式的に正しいように思うのですが、なぜ結果が違うのでしょうか？

補足

ちなみに正しい答えは

expj(π/6 + 2πn/3)　のｎに１、２、３の整数を代入した３つです。

複素平面上では点が３つプロットされます。