物は力をかけただけで変形する？

質問

材料力学に関することなのですが、例えば図1のように棒に両側から力Pで引張るとします。
棒の断面積は1で、棒のヤング率はEとします。
そうすると棒は伸びますが、伸びが弾性変形範囲内だとすると、棒の伸びた長さはL*P/Eとなりますよね？
次に図2のように同じ棒に片側から荷重Pで引張るとします。
この場合棒は加速しますが、自分が知りたいのは棒が伸びるかどうかということです。
そこで図3のように座標軸を取り、位置xで長さdxの微小部分を考えるとします。
そうすると微小部分には左側にはP*(L－x)/L、右側にはP*(L－x)/L＋P*dx/Lの力がかかっていることになります。
しかし、dxが十分小さくなればP*dx/Lも小さくなるのでP*dx/Lの項は無視するとします。次に微小部分の伸びを考えます。
微小部分の伸びた長さは、P*(L－x)*dx/LEとなりますよね？
そしてこれを0からLまでxについて積分すれば棒全体の伸びた長さが求まりますよね？

∫P*(L－x)*dx/LE＝L*P/2E

積分した結果、図2の場合でも棒全体の伸びた長さはL*P/2Eと求まるのです。不思議なことに棒を固定しなくても力をかければ棒は変形するということです。この結果は正しいのでしょうか？ご返答よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

あなたの考え方で問題ありません。
基本的に剛体と呼ばれる物を除き、一部分に力を加えると必ず変形します。

全体として力が加わっていない場合、たとえば円盤が回転している場合について考えてみても面白いと思います。

お礼

ご返答ありがとうございます。回転している場合については思いつきませんでした。回転していると膨張しそうですね。

回答No.2

my3027

>この場合棒は加速しますが、自分が知りたいのは棒が伸びるかどうかということです。
結論から言うと無固定の加速度運動で弾性体は伸びます。単位密度ρとするとρd2x/dt2の物体力(慣性力)が働らく為。ですので通常ナビアの式(λ+μ)k,ki+μui,jj+ρd2x/dt2=0
から変形を計算します。

詳細は確認していないのですみませんが、記載の方法には物体力が入っていない事と、
>dxが十分小さくなればP*dx/Lも小さくなるのでP*dx/Lの項は無視するとします
dxが微小でもP*dx/Lが無視できるとは限りません。通常(dx)2とか2次以上の高次を無視します。以上２点は最低見直す必要があると思います。