関数の極限値

質問

いつもいつも回答ありがとうございます。
また全然思いつかない問題に出くわしました。
答えがないのでずっと考えていました。
分かる方教えていただけませんか。

lim[x→0]e^(-1/x^2)

直感では0になりそうなのですが、厳密にできますでしょうか。

回答No.2

proto

どこまで厳密に行くかにもよりますが、
1/x^2=tと置き換えると、x→0のときt→∞で
　　lim[x→0]{e^(-1/x^2)} = lim[t→∞]{e^(-t)} = lim[t→∞]{(1/e)^t}

0<1/e<1ですから、
|a|<1のとき、
　　lim[t→∞]{a^t} = 0
を使えばよいかと。

これ自体も示さなければいけないとか、「x→0のとき1/x^2→∞」も示さないといけなくなるともう少し長くなりますね。
なんにしても、どこまで厳密にやるかが問題になるかと。

補足

回答ありがとうございます。
大変な過ちを犯してしまったのですが、
問題を間違えてしまいました。
lim[x→0]e^(-1/x^2)/x
です。
ろぴたるの定理を用いても、分母にxのべき乗
が残るので、どうしたらよいのかということだったんです。
申し訳ありませんでした。
もう一度お願いいただけませんか。

回答No.1

kabaokaba

x=1/tとおいて，x->∞, x->-∞とすればいい
２乗があるから，符号は実はどうでもいい．

補足

回答ありがとうございます。
大変な過ちを犯してしまったのですが、
問題を間違えてしまいました。
lim[x→0]e^(-1/x^2)/x
です。
ろぴたるの定理を用いても、分母にxのべき乗
が残るので、どうしたらよいのかということだったんです。
申し訳ありませんでした。
もう一度お願いいただけませんか。