i^x と ｅ＾(ix) の関係

質問

ｅ＾(iθ)＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ（ｉは虚数単位）
（オイラーの公式）というのは知っており、使うこともたまにあります。

最近、
ｉ＾０＝１
ｉ＾１＝ｉ
ｉ＾２＝－１
ｉ＾３＝－ｉ
ｉ＾４＝１
であれば（複素平面上で回転していると考えることができる？）、
ｉ＾ｘでｉ＾（１／２）とかはどうなるんだろうと考え（ｉ＾０に対してπ／４回転している？）、
Google 電卓機能を使って試してみると下記のようになりました。
i^(1 / 2) ＝ 0.707106781 + 0.707106781 i
これは、
ｉ＾（１／２）＝（√２／２）＋（√２／２）i
　　　　　　　＝ｃｏｓ（π／４）＋iｓｉｎ（π／４）
となり、ｅ＾(iθ)のオイラーの公式どおりだと思います。

そうだとすると、

質問１：
ｅ＾(iθ)＝ｉ＾θ
が成り立つと言うことなのでしょうか。

質問２：
もし、質問１が成り立つのであれば、どのような方法で証明できるのでしょうか（図とかを使ったものでもいいです）。
もし成り立たないのであればその理由も知りたいです。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。
ガウス平面上での回転をメインに考えて見ますと、
i^4=1
ですから、4乗すると1回転つまり2πラジアン回転するわけです。
i^1=i
これは、ガウス平面上では"1"をπ/4ラジアン回転させたもの(1/4回転)です。
つまり、i^θは1をθ/4回転、つまり、2πθ/4=πθ/2ラジアン回転させたものといえます。

e^iθは、1をθラジアン回転させたものですので回転量が違います。

i^θ={e^(πi/2)}^θ=e^(πθi/2)
の変形は指数法則
(x^a)^b=x^(ab)
を使っています。a,bが整数の場合上式が成立することは容易に確認できると思いますが、それを複素数まで拡張したものになります。

>>つまり、i^θはガウス平面上では"1"を原点中心にπθ/2回転させた点になります。
>θは整数のみということでしょうか。
いえ、何でもかまいません。それこそ実数全てとしてもOKです。
πθ/2回転とはπθ/2ラジアンの回転を意味しています。ここは回転量について厳密に説明していなかったことで混乱させてしまったようです。

お礼

ありがとうございました。

i^θ=e^(πθi/2)
納得しました。

しかし、
数式的にもイメージ的にも理解したつもりなのですが、なにかしっくりきません。
底がｉとｅで違うからなのかもしれません・・・

回答No.1

rnakamra

惜しい。かなりいいところいっているが、ちょっと間違えている。

オイラーの公式から、iはθ=π/2の場合となります。
i=0+i*1=cos(π/2)+isin(π/2)=e^(πi/2)
(本当はπ/2+2nπ (n:整数)である。実際には後ろの項も考慮する必要があるが、ここではわかりやすくするためにとりあえず無視する)

指数法則から、
i^θ={e^(πi/2)}^θ=e^(πθi/2)
となります。
つまり、i^θはガウス平面上では"1"を原点中心にπθ/2回転させた点になります。

実際は、2nπの分も考えると2nθπの任意性があります。

補足

ありがとうございます。

>惜しい。かなりいいところいっているが、ちょっと間違えている。
どこを間違えているのか今ひとつ理解できていません。

>オイラーの公式から、iはθ=π/2の場合となります。
>i=0+i*1=cos(π/2)+isin(π/2)=e^(πi/2)
これはわかります。

>指数法則から、
>i^θ={e^(πi/2)}^θ=e^(πθi/2)
>となります。
たぶん、ここが理解できていないのだと思います。

>つまり、i^θはガウス平面上では"1"を原点中心にπθ/2回転させた点になります。
θは整数のみということでしょうか。