点を求める

質問

点A(2,2),B(1,3),C(-1,1),D(-1,-1),E(1,-3),F(4,-2),P(m,n)があります。角APB、角CPD、角EPFが等しくなるような点P(m,n)を求める問題です。答えは（1,1）とわかっているのですが、解答までの過程がわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか？

私の考えでは、それぞれの角が等しいので、余弦定理を使って
cosAPB=cosCPD=cosEPDで解こうと思ったのですが、計算が
複雑になってしまうので、いきずまっています。

回答No.3

ichiro-hot · ベストアンサー

●変数がｍ，ｎの2個で、関係式が3個有るので、必ず解けます。
　その際、次のように展開したほうが計算は楽になります。
(※分子に注目するとｍ，ｎの係数が全部1で、前と後ろで符号が反対で消せるという判断が基礎にあります。）
tan∠APB=｛（n-2)・（m-1)－（n-3)・（m-2)｝/｛（m-2)・（m-1)＋（n-2）・（n-3）｝
=｛m+n-4｝/｛m^2-3m+n^2-5n+8}・・・・・・・（１）
tan∠CPD＝{(n+1)・(m+1)-(n-1)・(m+1)}/{(m+1)・(m+1)+(n-1)・(n+1)}
={2m+2}/{m^2+2m+n^2} ・・・・・・・・・・・・・・（２）
tan∠EPF＝{(n+2)・(m-1)-(n+3)・(m-4)}/{(m-1)・(m-4)+(n+3)・(n+2)}
={-m+4n+10}/{m^2-5m+n^2+5n+10}・・・・（３）
※計算ミスが多いので確かめてくださいね。

　この後、（１）＝（２），（２）＝（３）をつくります。そうするとｍの３次式が二つできるので、両方からｍ＾３を消去し、ｍ＾２の方程式をつくり、因数分解又は根と係数の関係に代入してｍ＝（ｎの関数）を求めます。・・・（４）

　次に（１）＝（３）をつくり、ｍの３次式ができるので、上の二つの３次式のどちらかを使ってｍ＾３を消去してｍ＾２の式をつくり、これに（４）を代入するとｎの解が得られるはずです。それを（４）に代入すればｍの解が得られて終わりです。

　ほかにもっと簡単な計算方法は無いかいろいろ考えてみましたが。。。この方法が場合わけやいろいろな条件わけなどが一番少なく、まだ３次式の計算ですんでるだけでもいいほうだということがわかりました。３点を通る円、二つの点を通る円と半径、ベクトル、複素数・・・どれも結局これぐらいの計算量が必要になります。結局計算力を見る問題なのでしょうか？
がんばってみてください。答えが１，１なので、最後に式の計算が一気にきれいになってくると思いますよ。

お礼

返信遅れて申し訳ありません。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.5

stomachman

ANo.2のコメントについてです。

> 円周Cj(t)の式がどのようになるのかがわかりません。

　うーむむ…。さして難しい問題じゃないのですが、円の方程式が分からないということですと、もう少し基本の勉強をしないとこの問題はツライかも。ま、それはさておき。

　円周Cj(t)の中心がcj(t)であり、点ajがCj(t)上にあるのだから、Cj(t)の半径は |aj-cj(t)|です。で、Cj(t)ってのは、「中心cj(t)からの距離が |aj-cj(t)|であるような点xの集合」に他なりませんから、
Cj(t) = { x : |x-cj(t)| = |aj-cj(t)| }
と表せます。この{ }内の":"の右側が、いわゆる「円の方程式」です。でもって、C1(t)とC2(t)の交点というのは、二つの円周（という名の集合）の共通部分、すなわち
C1(t) ∩ C2(t) = { x : |x-c1(t)| = |a1-c1(t)| かつ |x-c2(t)| = |a2-c2(t)| }}
です。":"の右側は二つの方程式を同時に満たすxを要求している。つまり、連立方程式ですね。
　だけど、二つの円の交点を知るだけのことなんですから、何も式の変形だけで攻めなくたって、ここでも中学校的発想が使えます。(c1(t)とc2(t)を結ぶ線分Lを考えてみれば見当がつくでしょう。Lをある比率で内分する点を通るようなLの垂線上に、問題の交点がある筈ですよね。)

お礼

返信遅れて申し訳ありません。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.4

htms42

わたしもやりかけましたが諦めました。
とてもやってられません。

方針変更です。
凸の６角形ＡＢＣＤＥＦの内部に
∠ＡＰＢ＝∠ＣＰＤ＝∠ＥＰＦ（＝θ）
を満たす点は１つしか存在しない
ということを示すことが出来れば１つ見つけるとそれが答えになります。

まだ証明は完成していません。
条件を満たす点をＰとします。
△ＡＰＢ，△ＣＰＤ，△ＥＰＦの外接円を描きます。

条件を満たす別の点Ｐ’（≠Ｐ）が存在するとします。
Ｐ’は３つの円の外部にしか存在できません。
どれかの円の内部にあればその円上に辺を持つ三角形の頂点の角度がθよりも大きくなり、別のどれかが小さくなります。中心が同一直線上にない３つの円が内部を共有することはありません。

３つの円のどれの中にもないという場合、可能な場所が３つあります。
この３つの領域のどれも条件を満たすことはできいないというのがまだうまく証明できていません。
もしそういう点があれば３つの円の半径の比が辺の比ＡＢ：ＣＤ：ＥＦに等しくなっていなければいけないということから否定されるはずなんですが。

どなたかお願いします。

回答No.2

stomachman

Pの座標の二つの成分をいっぺんに扱うから複雑になるのかもしれないなあ。ならば、中学校の幾何を利用するアプローチはどうだろ。
　記号が煩雑なので
a1=A, b1=B
a2=C, b2=D
a3=E, b3=F
と書き換え、ベクトルを90度回転する行列Rを
0 1
-1 0
とします。j=1,2,3について
mj = (aj + bj)/2
kj = R(aj - bj)
cj(t)=mj + kj t (tは実数)
とおく。つまりcj(t)は辺aj bjの垂直二等分線をパラメータ表示したもの。すると、tをひとつ決めたとき、二等辺三角形△aj bj cj(t)はj=1,2,3について互いに相似。

　さて、点cj(t)を中心としてaj, bjを通る円周Cj(t)を考えれば、Cj(t)上のどの点からでもaj, bjを見込む角θ（つまり円周角）は同じであり、しかもj=1,2,3どれについても（△aj bj cj(t)が相似だから）θは全部同じ。

　なので、円C1(t), C2(t), C3(t)が１点で交わるようなtを見つければ、その交点こそが、求められている点P。
　C1(t)とC2(t)の二つの交点をs1(t), s2(t)として、どっちかがC3(t)上に来るようにtを決めればいい。ともかくこれで1変数の問題に帰着できた。（簡単になったかどうかは知らないが）

補足

回答ありがとうございます。
考え方はわかったのですが、
円周Cj(t)の式がどのようになるのかがわかりません。

どのような式で表現できるか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

ichiro-hot

●　cosを使うと余弦定理を使っても内積を使っても辺の2乗や√の計算が必要になるけれど、tanを使ったらどうだろう？
例：A（２，２)，B（１，３），P（ｍ、ｎ）
次のように，傾きとtanの関係が使えますね。
ＰＡの傾きｋ1＝（ｎ－２）/（ｍ－２）
ＰＢの傾きｋ2＝（ｎ－３)/（ｍ－１）
A，B；PA，PBとx軸のなす角とすると，
tan∠APB={ｔａｎＡ-tanB｝/｛１＋ｔａｎＡ・ｔａｎＢ｝
これにk1，k2を代入し整理すると・・・
　＝｛ｋ1-ｋ2｝/｛１＋ｋ1・ｋ2｝
　＝｛（ｎ－２）/（ｍ－２）－（ｎ－３)/（ｍ－１）｝/｛１＋[（ｎ－２）/（ｍ－２）]・[（ｎ－３)/（ｍ－１）]｝
　＝｛（n-2)・（m-1)－（n-3)・（m-2)｝/｛（m-2)・（m-1)＋（n-2）・（n-3）｝
となって，ｍ＾2・n^2（合計４次）や√の項がでてこずに、せいぜいｍ＾2＋n^2＋・・・（２次）となって，次数を２つ落とせている。その分計算が楽になりはしませんかね？ヒントになりませんか？
（計算したわけでは有りませんので、あしからず！！）

補足

回答ありがとうございます。
回答どおりといてみると、
tan∠APB＝回答いただいた式
tan∠CPD＝{(n+1)・(m+1)-(n-1)・(m+1)}/{(m+1)・(m+1)+(n-1)・(n+1)}
tan∠EPF＝{(n+2)・(m-1)-(n+3)・(m-4)}/{(m-1)・(m-4)+(n+3)・(n+2)}
となりました。

これをtan∠APB＝tan∠CPD＝tan∠EPFの関係式に当てはめたのですが、
解くことができません。
何かもう１つmとnの関係式が必要なのでしょうか？