メビウスの方程式に関して

質問

競馬などにおいて、必要最小投資額を求めるのにメビウスの方程式を利用すると思います。

例えば、競馬で５点買いするとする場合
どの馬券を購入しても１万円の利益が出るように、
５点の各オッズに対して掛け金を求めることは出来ます。

ここまでは問題ないのですが、
例えば、５点のうち例えば１点は元返しにしたい。と思った場合はどのような
どのような計算になるのでしょうか？
元返しとは、その馬券については投資額＝利益となるような考えで、投資額を抑える形です。

１．元返しをのぞく４点について、メビウスの方程式により掛け金を計算。
　例：４点どれを買っても１万円の利益になるには３万円の掛け金が必要。

２．１で求められた、総掛け金に対して、元返ししたい馬券の掛け金を計算。
　例：元返し対象のオッズが5.0の場合、3万÷5.0で6千円。

このように考えた訳ですが・・・・・問題が発生しました。

１で計算した後に、２で元返しの分の６千円が追加投資となったため
１で計算した金額を買っても１万円の利益にはならないのです。

わかりにくい説明で申し訳ありませんが、
５点買いで、元返しを想定した場合のメビウスの方程式の使い方はないでしょうか？

元返し対象は１点とは限りませんので、２点・３点でも応用できる
考え方を教えていただきたいと思います。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

n件に対して賭けをするとします。そのうち、1～k件に対しては
利益A円を得るとし、それ以降に関しては元を得ることを考えます。
総額をM、オッズを
a[1],a[2],・・・a[k],a[k+1],・・・a[n]
とし、それぞれの購入金額を
b[1],b[2],・・・b[k],b[k+1],・・・b[n]
とすると次の関係が成り立ちます
M=a[k+1]*b[k+1]=a[k+2]*b[k+2]=・・・=a[n]*b[n] ・・・・・(1)
a[1]*b[1]=a[2]*b[2]=・・・=a[k]*b[k]=M+A=a[n]*b[n]+A ・・・・・(2)
b[1]+b[2]+・・・+b[n]=M=a[n]*b[n] ・・・・・(3)
(1)を変形すると
b[k+1]=b[n]*a[n]/a[k+1]
b[k+2]=b[n]*a[n]/a[k+2]
・・・・・
(2)を変形すると
b[1]=b[n]*a[n]/a[1] + A/a[1]
・・・・・
これらを(3)に代入してまとめると
b[n]*a[n]*{1-Σ[t=1,n]1/a[t]}=A*Σ[t=1,k]1/a[t]
b[n]=A*Σ[t=1,k]1/a[t] / {a[n]*(1-Σ[t=1,n]1/a[t])}
となります。

具体的に数字でやってみると
5点に関してオッズが
a[1]=10,a[2]=13,a[3]=14,a[4]=20,a[5]=5とします。
これに対して1～4に対して10000円の利益を出すことを
考えるとそれぞれの逆数を足した
1/10+1/13+1/14+1/20+1/5=0.498351648
1/10+1/13+1/14+1/20=0.298351648
から
b[5]=10000*0.298351648/{a[5]*(1-0.498351648)}=1189.485214
これで総額が
1189.485214*5=5947.426068
と求まり、残りはそれぞれ
a[1]=(5947.426068+10000)/10=1594.742607
a[2]=(5947.426068+10000)/13=1226.725082
とそれぞれを求めていくとことができます。

お礼

ありがとうございました。

考え方自体はまだ理解半分ですが、これで値を求めることは出来ます。