整数のわりざん

質問

文字式を使ったわりざんがわかりません
おしえてください。

宿題がでたけど、わからないです。

●f(x)をx＾2－6x－7で割ったときの余りが2x＋1である。このとき、ｆ(x)を
ｘ＋１で割ったときの余りは？

●ｆ(ｘ)をｘ－1でわると1余り、ｘ－2でわると2あまる。このｆ(ｘ)を
(ｘ－1)(ｘ－2)でわると余りは？
です。
分かる方おしえてください

回答No.4

mmky

#2mmkyです。
＃2は参考にならない参考でした。ごめん。
fushigichanさんの回答がでていますので、
訂正のみです。。

(1)
x＾2－6x－7=(x-7)(x+1)
f(x)/{(x-7)(x+1)}=g(x), あまり (2x+1)
f(x)=g(x)(x+1)(x-7)+ (2x+1)
f(x)/(x+1)=g(x)(x-7)+ (2x+1)/(x+1)
=g(x)(x-7)+ {2(x+1)-1}/(x+1)
=g(x)(x-7)+2-1/(x+1)
=g(x)(x-7)+2, あまり-1

(2)
ｆ(ｘ)/(x-1)=g(x), 1
ｆ(ｘ)/(x-2)=h(x), 2
ｆ(ｘ)=g(x)(x-1)+1
ｆ(ｘ)=h(x)(ｘ－2)+2
ｆ(ｘ)/(x-1)=g(x)+1/(x-1)
ｆ(ｘ)/(x-2)=h(x)+2/(x-2)
ｆ(ｘ)/(x-1)-ｆ(ｘ)/(x-2)=g(x)-h(x)+1/(x-1)-2/(x-2)
-f(x)/(x-1)(x-2)=g(x)-h(x)+1/(x-1)-2/(x-2)
f(x)/(x-1)(x-2)=-g(x)+h(x)+x/(x-1)(x-2)
f(x)/(x-1)(x-2)=-g(x)+h(x), あまりx

訂正とお詫びまで

回答No.3

fushigichan

hai533さん、こんばんは。

＞●f(x)をx＾2－6x－7で割ったときの余りが2x＋1である。このとき、ｆ(x)を
ｘ＋１で割ったときの余りは？

この割り算の商をP(x)としますと、
f(x)=(x^2-6x-7)P(x) + (2x+1)　・・・・・（☆）
と、書けますね。
ここで、x^2-6x-7=(x+1)(x-7)
と、因数分解できるので、（☆）は、
f(x)=(x+1)(x-7)P(x) + 2(x+1) -1
=(x+1){(x-7)P(x) +2} -1
と書きかえれます。したがって、ｘ＋１で割ったあまりは、－１です。

＞●ｆ(ｘ)をｘ－1でわると1余り、ｘ－2でわると2あまる。このｆ(ｘ)を
(ｘ－1)(ｘ－2)でわると余りは？

整式をｘの二次式で割ったあまりは、ｘの１次以下の式になりますから、
(x-1)(x-2)で割ったあまりを、今、ax+b　とおくことにしましょう。
商はQ(x)とおくことにすると、

f(x)=(x-1)(x-2)Q(x) + ax+b

ここで、ｘ－１で割ったあまりが１なので、因数定理よりｆ（１）＝１
同じく、ｘ－２で割ったあまりが２なので、因数定理よりｆ（２）＝２

このことを用いれば、
a+b=1
2a+b=2
ゆえに、a=1,b=0
となって、あまりはｘ　となることが分かります。

回答No.2

mmky

参考程度に

(1)
x＾2－6x－7=(x-7)(x+1)
f(x)/{(x-7)(x+1)}=g(x)+(2x+1)
f(x)/(x+1)={g(x)+(2x+1)}(x-7)

(2)
ｆ(ｘ)/(ｘ－1)=g(x)+1
ｆ(ｘ)/(ｘ－2)=h(x)+2
{ｆ(ｘ)/(ｘ－1)}-{ｆ(ｘ)/(ｘ－2)}=g(x)+1-{h(x)+2}
=-f(x)/{(ｘ－1)(ｘ－2)}=g(x)h(x)-1

というようにすると解るかな。

回答No.1

may-may-jp

こちら↓が参考になると思います。

参考URL：

http://www.ht-net21.ne.jp/~ozeki/amari3-1.htm