割り算の問題

質問

f（x）=x^3＋（a＋1）x^2＋5x＋a-2、g（x）=x^3+ax^2+6x+aとするときf（x）とg（ｘ）が共通の因数（ｘの一次式）をもつような定数ａの値を求めよ。さらにそのときｆ（x）とg（x）がどのように因数分解されるかを示せ。
という問題です。

まず、最初どうするかがよくわかりません。
最初の出だし・方針を教えていただけたらうれしいです。

よろしくお願いしますm（__）m

回答No.1

Aquoibonist · ベストアンサー

共通因数を(x-p)としましょう。
すると、因数定理より、f(p)=g(p)=0がいえますから、
p^3+(a+1)p^2+5p+a-2=0
p^3+ap^2+6p+a=0
aについて整理すると
(p^2+1)a+(p^3+p^2+5p-2)=0…(1)
(p^2+1)a+(p^3+6p)=0…(2)
(1)-(2)より
p^2-p-2=0
(p-2)(p+1)=0
すなわちp=2またはp=-1
(1)p=2のとき(2)よりa=-4
このとき
f(x)=x^3-3x^2＋5x-6
　　=(x-2)(x^2-x+3)
g(x)=x^3-4x^2+6x-4
=(x-2)(x^2-2x+2)
(2)p=-1のとき(2)よりa=7/2
このとき
f(x)=(1/2)*(x+1)(x^2+7x+3)
g(x)=(1/2)*(x+1)(x^2+5x+7)
となります。

お礼

＞共通因数を(x-p)としましょう。
というのはｘにｐを代入すると、0になるってことですね。

それにしても、きれいにaが消去できちゃうんですねー。
とてもわかりやすく説明してくれてありがとうございました！

回答No.5

mmky

#2のmmkyです。
質問者さんへ、説明不足でごめん。
#3のLargo_spさんの補足どおりです。
#3のLargo_spさんありがとう。
それから#4のeatern27さんのまとめも参考にしてね。
追伸まで

お礼

こんばんは。
皆さんがいろんな角度から解説してくれたおかげでとてもわかりやすかったです。
mmkyさん皆さまどうもありがとうございました～！

回答No.4

eatern27

＞＞共通因子ですから二つの関数の差をとってみます。
＞どういうわけで、この方針が出てくるのかがちょっとわかりません。
＃1さんは、f(p)=0、g(p)=0をaについて整理し、aを消去して求めています。
＃2さんは、ｐがf(x)-g(x)=0の解となることを利用して求めています。
f(p)=g(p)=0となるので、f(p)-g(p)=0となります。
したがって、pはf(x)-g(x)=0の解です。
つまり、pを求めるためにf(x)-g(x)=0を解けばいいのです。
（しかし、f(x)-g(x)=0の解が必ずpとなるとは限りません)

＞＞f(-1)=-1+(a+1)-5+a-2=2a-7
＞g(-1)=-1+a-6+a=2a-7
＞とf(-1)とg(-1)が一致するのかがわかりません。
さっき書いたf(x)-g(x)=0を解くとx=-1，2となります。しかし、これがｐとなるとは限りませんので、f(x)とg(x)に代入してみなければなりません。
もし、f(-1)=g(-1)=0となるようなaが存在すれば、その時のaが求める定数aの値であり、(x+1)は共通因数となります。
実際に計算してみるとf(-1)=g(-1)=0は2a-7=2a-7=0をa=7/2の時に満たすので答えになります。
同じ様にx=2を代入してf(2)=g(2)=0を解くとa=-4となります。

長くなりましたが、おそらくここで聞いているのは「なぜ、f(-1)とg(-1)が両方とも2a-7で同じ形になるのか?」でしょう。
それは、偶然だと思います。(そういうふうに問題が作られているから)
でも、この場合はf(x)とg(x)をaについて整理すると、aの係数がどっちも(x^2+1)だから、当然といえば当然です。

お礼

どうもありがとうございます。

しっかり読ませていただきました。
解説に解説をしてくれた感じでとてもわかりやすかったです。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました！

補足

ご回答どうもありがとうございます。
ちょっと今時間がないので、夜拝見させていただきます。

回答No.3

Largo_sp

mmkyさんから補足がないようなので補足説明...

引き算の方針は、共通因子をA(x)とすると
f(x)=A(x)F(x)
g(x)=A(x)G(x)　　とできて
とできて、引き算しても、

f(x)-g(x)=　A(x){F(x)-G(x)}　で

A(x)が共通因子
であることは変わらないですよね...

それと、丁度引き算するとaが消えるということから...

f(x)-g(x)の因数分解したどちらかが共通因子...
すると...
x=-1か、2で0になる。
f(2)=9a+15 g(2)=5a+14
f(-1)=2a-7 g(-1)=2a-7
いずれもaに対する１次式で、f(x)とg(x)が同時に0になるためには
x=-1の時しかありえない...
x=2の時は
9a+15=0 5a+14=0を同時に満たすaは存在しない　(-1/4=0なら別ですが...)

ということから、回答の結果がでてきますが...

納得いただけましたでしょうか...
mmkyさんならばもっとわかりやすい説明をしていただけると思いますが...

お礼

どうもありがとうございます。

なるほど、共通因子であることは変わらないんですね。
そこで、どれが共通因子であるかどうかを考えるんですね。
ちなみにf（2）=g（2）=5a+20と一致するようです。

解き方の流れがわかりました～！
ありがとうございました！

回答No.2

mmky

＃１さんからやり方が出ていますので、
参考程度のやり方まで

「f（x）=x^3＋（a＋1）x^2＋5x＋a-2、g（x）=x^3+ax^2+6x+aとするときf（x）とg（ｘ）が
共通の因数（ｘの一次式）をもつような定数ａの値を求めよ。さらにそのときｆ（x）とg（x）
がどのように因数分解されるかを示せ。」

共通因子ですから二つの関数の差をとってみます。
f(x)-g(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)
x=-1 で吟味、
f(-1)=-1+(a+1)-5+a-2=2a-7
g(-1)=-1+a-6+a=2a-7
同一形式になりますね。
だから、f(-1)=g(-1)=0, a=7/2
(x+1)で因数分解可能で、その時、a=7/2　が条件。
f(x)=x^3+(9/2)x^2＋5x+(3/2)=(x+1){x＾2+(7/2)x+(3/2)}
g(x)=x^3+(7/2)x^2+6x+(7/2)=(x+1){x＾2+(5/2)x+(7/2)}

というやり方もあるかな。

補足

どうもありがとうございます。
ごめんなさい、ちょっとわからないところがあるのですが補足質問してもよろしいでしょうか？

＞共通因子ですから二つの関数の差をとってみます。
どういうわけで、この方針が出てくるのかがちょっとわかりません。

あと、
＞f(-1)=-1+(a+1)-5+a-2=2a-7
g(-1)=-1+a-6+a=2a-7
とf(-1)とg(-1)が一致するのかがわかりません。

よかったら、教えて下さいm（__）m