材力 断面が変化するはり

質問

材料力学を勉強しているのですが、解き方が分からないので質問させて頂きます。
丸型のパイプの全長Ｌの両端単純支持はりで、左端から長さaで入力をFとして、
断面が長さcで断面二次モーメントがIからI’へ変化する時の
最大たわみ量を計算しています。
a＜ｃ＜L、I＞I’とすると、どのようにたわみの計算を進めていけばよいのでしょうか？

　　　　 　F
　　　I　　↓　　　　　　　　I’
　■■■■■■□□□□
△　　　　　　　　　　　　　　△
　0 　　　 a 　　　 c 　 　　　 L

モーメントまでは計算できたのですが、自分の知識では変化点でたわみが連続にならないのでは？
と思い、解き方がわからない状況です。
どなたか手助けお願いします。

回答No.1

felicior

まずモーメントはこんな感じになりましたか？
M1(x)＝(L-a)xF/L (0≦x≦a)
M2(x)＝-a(x-L)F/L (a≦x≦L)

材料や断面が途中で変わる問題は、普通に解いて最後に
ヤング率Eや断面二次モーメントIを置き換えるだけではダメです。
そんなことをすれば撓みが不連続(＝破断)というおかしな結果になるのも当然です。

曲率ρ(＝1/R)と曲げモーメントMの間には
ρ(x)＝M(x)/E(x)I(x)
という関係がありますがこのEやIは関数です。
よって不連続なのは決して撓みではなく曲率です。
ρ1(x)＝M1(x)/EI＝(L-a)xF/LEI (0≦x≦a)
ρ2(x)＝M2(x)/EI＝-a(x-L)F/LEI (a≦x≦c)
ρ3(x)＝M2(x)/EI'＝-a(x-L)F/LEI' (c≦x≦L)

あとはこの３式を積分して、撓み角θの連続条件
θ1(a)＝θ2(a)、θ2(c)＝θ3(c)
と、撓みyの境界条件・連続条件
y1(0)＝y3(L)＝0、y1(a)＝y2(a)、y2(c)＝y3(c)
を使って６個の積分定数を決めてください。
最大撓みの場所がどの区間になるかは場合わけが必要かと思われます。

面倒でもF、M、ρ、θ、yのグラフを描いて理解してください。

お礼

ありがとうございます。
たわみ量に固執しすぎていました。
遅くなりましたが解くことができたので、FEMで確認してみようと思います。