式Ａは○・式Ｂは×の見極め

質問

問題の解説を読んでいると、「なんでＡの式ならＯＫだってわかるんだろう？もしかしたらＢの式かもしれないのに」「なんでＡの式でなければならないんだろう？だってＢの式も使えるのに」と、感じることが多いです。今回もその問題の一つです。

問
ある人が自転車で16km離れた地点へ時速12kmで行き、直ちに引き返して時速8kmで帰ってきた。往路、復路を通じての平均時速として正しいのどれか（正解:9.6km）

僕の解き方
時間＝距離÷速さだから、
行きにかかった時間…16÷12＝4/3時間
帰りにかかった時間…16÷8＝2時間

速さ＝距離÷時間だから、
行き時の速さ…16÷4/3＝12
帰る時の速さ…16÷2＝8
…って、今気がついたらこれはもう問題文でちゃんと設定されてますね（^^;。ま、それはいいとして、問題はこの次です。

僕はここまで求めたあと、全体の合計÷各数＝平均という公式を使って、12＋8＝20→20÷2＝10　正解は10kmだ、と考えたのです。選択肢にも10kmがあったのでこれであっているのかとばかり思ってました。
…で、結局この解き方と答えは間違っていたわけですが、

質問1:公式にそってたてたのになぜこの式ではダメなのか？
質問2:何をヒントにこの式はダメだということに気付けばよいのか？

です。平均の公式にそっていますし、12と8は問題文によってはっきり設定されている数字です。つまり、不備がないのです。

なぜ「Ａなら○、Ｂなら×」となるのですか？なぜ「Ｂでもできる。Ａにもおかしなとこはある」とならないのですか？？もうだいぶ勉強しているのに、むしろ勉強をすればするほど新しい可能性が見つかり、余計に「絶対こっちだ！こっちは絶対違う！」という見極めがつけられなくなってしまっている気がします。

回答No.18

noname#181872

言いたいことがなかなか分かってくれないようで…

#12さんが作ってくれた問題を解いたときに質問者様は解き方を間違ったため
正解にいたらなかったのですが、ここで一番重要なのは正しい解き方を
知ることではありません。自分の解き方でどこが間違っているかに気づくことです。

実際には多項式の割り算をするときに式の変換ミスをしていたのですが、
どこをミスしていたか分かれば、そのミスを修正すればいいのです。
ただ、どこをミスしていたか分からなければ、解法の全工程を疑うことになります。
そして真っ先に疑われるのは新たに覚えた概念となりがちなので、
本来間違っていた部分に目が行きにくくなります。

#12さんの作った問題での疑問点は本来の質問事項とは異なりますが、
これまで多くで質問している「Ａなら○、Ｂなら×」ということにも
共通していませんか？そのなかでＢなら×となるには、なるなりの理由があります。
今回も正しい解答が得られなかったことには理由があります。
もちろん正しい解答を得るための方法を知ることは重要ですが、
自分の解き方はなぜ間違いになるのか、どこが間違っているのか
ということを理解する方法を知らなければ、自分のとは違う解答を得る方法を知っても
解答を得る方法が二つになるだけで、また同じ疑問が湧きますよ。

そして、検算についてひとこともコメントが書かれていないので、
本当に理解できているか心配です。

ただ、間違えたときこそその式や考えなどを再確認し、理解を深める
いいチャンスです。がんばってください。

お礼

ありがとうございました。

回答No.17

noname#181872

ひたすら苦労したほうがいいとは思いますが、できないというので。

まず自分が#14で示した式（1）から式（4）までのなかで、
式（1）から式（2）の変形がおかしいということに気づきましたか？
式（1）から式（4）までの左辺はすべて9.6です。
つまり質問者様は右辺を式変形し、式（1）から式（4）までを
導き出したと思います。そうすると計算ミスがないとすれば

32÷（4/3＋Ｔ）＝32×（3/4＋Ｔ）＝32×（3/4＋4/4Ｔ）＝24＋32Ｔ

ということが言えるはずです。そしてここでは32÷（4/3＋Ｔ）という
式を分かりやすく書き直しているのですから、各式のTにどんな数字を入れても
第1式、第2式、第3式、第4式の各値は同じになるはずです。
泥臭いこととは、計算ミスがあるか確認するためにこのような努力を
しましたか？と言っているのです。

次に、

> 9.6＝32÷（4/3＋Ｔ）　　　（1）
> 9.6＝32×（3/4＋Ｔ）　　　（2）

この式変形についてのおかしなところを説明します。
（1）式を簡単な数字に置き換えて、未知数を使わない単純な式にします。

2=2÷（1/2+1/2）　　　（1）'

質問者様が（1）式から（2）式に変形したやり方はこの（1）'式を

2=2×（2+1/2）

としているようなものです。確かに分数の割り算は分母と分子を
ひっくり返して掛け算にして計算をするというのは算数の基礎です。
ただ、多項式になったらその多項式全体をひっくり返さなければ
ならないのです。これは多項式での計算の基礎です。

なので、（1）式は
9.6＝32×{1/（4/3＋Ｔ）}
ならば問題ありません。でもこれでは式が分かりやすくなったとは
言えません。なので、人に聞いたやり方という（4/3＋Ｔ）を両辺に
かけて分母を払うことをするのです。

ちなみに式を書き殴ったり、泥臭い作業をしたがらないという風に
見えるのはこの問題に限ったことではありません。質問者様は、
ある概念を理解したつもりでも実際に定着させるための反復練習が
欠けているのでは？と思われるのです。多項式の計算などの式変形について
いわゆるドリルのようなものでひたすら書き殴ることをしましたか？
質問者様が1を聞いて10を知ることができるのなら別に反復練習などいりません。
ただ、これまで質問されていることについて問題を解くために必要な新たな概念よりも、
知っておくべき基礎に欠けている印象があります。
新しい問題を解くことも大切ですが、基礎をしっかり固めなければ、
問題を解く際、新たな概念を用いて立式化する際に間違えているのか、
立式化されたものを解く段階で間違えているのかが分からなくなりますよ。
そしてこういう地味で面倒くさい作業をすることで、その基礎に
あたる部分の言わんとしている本質の理解にもつながると思います。

お礼

Charlie24さん、またもお返事が遅くなってしまいすみません。

なので、（1）式は
9.6＝32×{1/（4/3＋Ｔ）}
ならば問題ありません。でもこれでは式が分かりやすくなったとは
言えません。なので、人に聞いたやり方という（4/3＋Ｔ）を両辺に
かけて分母を払うことをするのです。

そうなんですか～（@_@;）。いつも書いていることですが、やらずに出来ないと言っているのではなく、やったけど出来ずに困っているのです。どういうわけか、自分で試してみた方法はほぼ100％間違っていて…（^-^;。

でも、掛け算のやり方でもＯＫとのことで、安心しました。ありがとうございました。

回答No.16

noname#181872

> 9.6＝32÷（4/3＋Ｔ）を、
> 9.6×（4.3＋Ｔ）＝32　とやれば解けるらしいんです。

解けたのならよかったかと思います。
では、質問者様が解いた解き方ではなぜできなかったのでしょうか。
数学において問題の解き方はひとつではありません。
理論的に間違っていなければ、どのような解き方をしてもかまいません。
でも答えが出ないということはどこかしら間違っていたということに
なります。それは分かりましたか？どこを間違っていたかを
理解しなければ、また”Aでもできる、Bでもできる、でも答えが
一致しない”といった質問をすることになります。
自分の間違えたことからちゃんと理解を深める努力をすべきです。

> 9.6＝32÷（4/3＋Ｔ）　　　（1）
> 9.6＝32×（3/4＋Ｔ）　　　（2）

の式変形でどこがおかしいか分かりましたか？

お礼

＞式を書き殴ったり、泥臭い作業をしたがらない

このテのアドバイスは今までに何度もきていますが、正確には、
「したがらない」のではなく、「やってもできなかった」のです。

＞の式変形でどこがおかしいか分かりましたか？
そう、たぶんここいらへんがおかしいのだろう、とは思ったので
すが、だからといって、「ではどうすることが○、自分のたてた
式のどこが×」、という見極めは、つけることはできなかったの
です。

他にもＴを色々と変えてみたのですが、どうやってもＴがマイナ
スになってしまうため、お手上げでした。「したがらない」ので
はなく、「やってもできなかった」のです。

掛け算にすればいいという方法を教わったから解けたかもしれま
せんが、自力で、掛け算にすれば解ける、とはとても思いつきま
せんでした。いつも書いていることですが、「この場合、Ａなら
解ける、Ｂなら解けない」というのがわからないのです。

回答No.15

noname#181872

前の質問のときもそうでしたが、式を書き殴ったり、泥臭い作業を
したがらないようですね。

僕の前のアドバイス（#14）で、

> また今回に限っては答えが分かっているのですから、行き詰まったのなら
> 各式に正解を代入すれば立式が正しかったか、計算ミスをしていなかったか
> 分かるはずです。

と書きました。（1）～（4）の式に正解を代入しましたか？

”正解なんてこれから求めることなんだから分かるわけないじゃないか”
と思うかもしれませんが、#12さんが作ってくれた問題は、
質問者様がはじめに質問で書いた問題と設定はほぼ同じで
未知数になっている箇所が違うだけなのです。

”ある人が自転車で16km離れた地点へ時速12kmで行き、
直ちに引き返して時速8km（B）で帰ってきたときの往路、復路を通じての
平均時速は9.6km/h（A）”
という事実に対して、質問者様がはじめに示した問題は（A）が未知数、
#12さんが作ってくれた問題は（B）が未知数になっているだけなのです。
だから、正解を代入したらどうなの？と聞いたのです。

また正解が分からなくても代入で計算ミスをしていないかチェックは
可能です。

> 9.6＝32÷（4/3＋Ｔ）　　　（1）
> 9.6＝32×（3/4＋Ｔ）　　　（2）

式（1）、（2）ともに左辺は9.6です。つまり32÷（4/3＋Ｔ）を
式変形したら32×（3/4＋Ｔ）になったということですよね。
そうすると32÷（4/3＋Ｔ）=32×（3/4＋Ｔ）と書けるはずです。
ではこの式変形が正しかったか確かめるにはTに適当な値を代入すれば
いいのです。この式変形が正しければすべてのTにおいて
成り立つはずです。なのでTに適当な値を2、3個代入して計算してみては
いかがですか。一致しなければ計算ミスをしているということです。

> > 1. 式の立て方がおかしかった　2. 計算ミスをしている

> 僕もそう思います。しかし、だからといって、平均速度の意味を
> 読み返したところで、では１と２の疑問の答えが見えるかといっ
> たら、それは違うのです。つまり、平均速度の意味さえ知ってい
> れば問題は解ける、というわけではないということです。

平均速度の意味が分かったときにできることは1.だけです。
2.は1.の立式が正しければ平均速度の概念を知らなくても
あとは機械的に解けるのです。

> ここを打破するには、平均速度の意味よりも、この問題を解くた
> めの知識が必要であると感じます。それがあれば解けるでしょう。

この問題を解くために必要な知識は平均速度の概念を除けば
それまでにやってきたであろう基礎です。
数学とは問題を解くために新たな概念が必要でも、それが必要なのは
ごく一部で、実際に問題を解くために必要なのはそれまでに学んだ基礎です。

あえて言いますが、このような式変形のミスをするようでは
基礎力不足と言わざるを得ませんし、ここでは出てきていませんが、
これまでに勉強してきた数学に関する知識で覚え間違いをしていることが
多くあるのではないかと心配しています。今、質問者様がしようとしている勉強は
砂上の楼閣を築こうとしている様なものです。
計算力を含めてもっと基礎を固めるべきではないでしょうか。

回答No.14

noname#181872

> 時速ｘKmで走ったときの時間をＴとした場合、
> 9.6＝32÷（4/3＋Ｔ）　　　（1）
> 9.6＝32×（3/4＋Ｔ）　　　（2）
> 9.6＝32×（3/4＋4/4Ｔ）　（3）
> 9.6＝24＋32Ｔ　　　　　　（4）
（式番号はこちらでつけました）

行き詰まったのは、（4）式を解こうとするとTがマイナスになったからでは
ないかと思います。そうなったとき、普通の人は、
1. 式の立て方がおかしかった
2. 計算ミスをしている
ということを疑います。なぜなら今回の問題は、未知数になっている箇所が
違うだけで、答えが出せる（というか出ている）のですから、
問題が解けないことはありえないからです。

また今回に限っては答えが分かっているのですから、行き詰まったのなら
各式に正解を代入すれば立式が正しかったか、計算ミスをしていなかったか
分かるはずです。

あきらめが早すぎませんか？

お礼

お返事が遅くなってしまいました。すみません。

＞（4）式を解こうとするとTがマイナスになったからでは
その通りです。

＞1. 式の立て方がおかしかった　2. 計算ミスをしている
僕もそう思います。しかし、だからといって、平均速度の意味を
読み返したところで、では１と２の疑問の答えが見えるかといっ
たら、それは違うのです。つまり、平均速度の意味さえ知ってい
れば問題は解ける、というわけではないということです。

＞あきらめが早すぎませんか？
でも、他に方法がないのです。平均速度の意味を読み返したても
問題は解けませんでしたし、平均時速 = 道のりの合計 / 所要時
間の合計の公式を使っても、Ｔがマイナスになってしまうためや
はり解けません。つまり。解き方の候補が全滅なのです。

ここを打破するには、平均速度の意味よりも、この問題を解くた
めの知識が必要であると感じます。それがあれば解けるでしょう。
宜しくお願いします。

補足

人に聞いたら解き方を教えてくれました。

9.6＝32÷（4/3＋Ｔ）を、
9.6×（4.3＋Ｔ）＝32　とやれば解けるらしいんです。

やってみたら本当に解けました。やはり、問題を解く壁になっているものは、平均速度の意味よりも式の知識なのだということが、改めて証明されました。

Charlie24さんの問題のおかげで、また解き方のレパートリーを増やすことができました。ありがとうございました。

回答No.13

arrysthmia

＞ いいえ、実際に問題が解けずに悩んだ僕の視点からすると、これはそうは言えないと思います。

わざわざ掲示板で質問をしておいて、人のアドバイスを参考にしてみる気が無いのなら、
いつまでも同じ間違いを繰り返すといい。実際、君が毎度やっているのは、そのようなことだ。

公式を覚えたと称し、パターンを覚えると称し、その使い方どころか、書かれている字面の語彙さえ
理解しないまま済ませているのなら、それは何の勉強でもないし、そんなことに時間を費やしても、
何かができるようになることは、決して無い。マジメニヤレ。

お礼

arrysthmiaさん、こんにちは。お返事遅れてしまいました。

＞人のアドバイスを参考にしてみる気が無いのなら、

いいえ、そんなことはありません。一番はじめに教えていただいた
公式のおかげで、この問題は解くことができるようになりましたよ。ありがとうございました。

回答No.12

owata-www

＃１１さんの仰ることは言葉遣いは悪いですが、その通りだと思います。

確かに、今回の問題で
平均時速 = 道のりの合計 / 所要時間の合計
という公式を覚えれば、なるほど同じ形式の問題はとけるかもしれません。

しかし、世の中には平均という概念はどこにでも出てきます。平均身長、平均体重、平均点数…
「平均～」という言葉の意味を理解しない限り、これらの公式（？）を全部覚える羽目になります。まあ、問題集10冊ぐらい解けば網羅できるかもしれませんが…

では、逆に今回の問題をひねって
ある人が自転車で16km離れた地点へ時速12kmで行き、直ちに引き返して時速xkmで帰ってきた。往路、復路を通じての平均時速は9.6kmで合った時、xの値を求めよ
という問題を解けますか？

＃１１さんの仰るとおり、今回の問題は公式の知識の有無ではなく、「平均速度」という言葉の知識が欠落していたために、問題が何を求めているのか理解できなかったわけです。
今回のことで
「平均～」という言葉の意味と、式の意味を理解しない限り、いつまでたっても同じことの繰り返しです。

お礼

今回、「平均時速とは、最終的に、何kmの道のりを何時間かけて行ったのかという意味なんだ」、ということを学びました。

さて、ではこのことだけを学んだからといってこの問題が本当に解けたでしょうか。それは違うはずです。もう一つ大事なことがありますよね。

「平均時速 = 道のりの合計 / 所要時間の合計を使えばいい」「それ以外はＮＧだ」です。たとえ言葉の意味を知っていても、式を知らなれば解けないはずです。なぜなら必要なのは言葉の意味を解答欄に書くことではなく、式を解いて答えを出すことだからです。

”ある人が自転車で16km離れた地点へ時速12kmで行き、直ちに引き返して時速xkmで帰ってきた。往路、復路を通じての平均時速は9.6kmで合った時、xの値を求めよという問題を解けますか？”

時速ｘKmで走ったときの時間をＴとした場合、
9.6＝32÷（4/3＋Ｔ）
9.6＝32×（3/4＋Ｔ）
9.6＝32×（3/4＋4/4Ｔ）
9.6＝24＋32Ｔ

さて、ここで行き詰まってしまいました。改めて平均時速の意味を読み返しても…うぅ～ん、だからといって「では次にどうするべきか？」には活かせません…。

…てことは？…てことは、ですよね？？

回答No.11

arrysthmia

←No.7 補足
「式の知識」が何を指しているのか疑問で、
いつもの勘違いをしている可能性が大きい。

この問題で反省すべきは、式の知識というよりも、
「平均速度」という言葉の知識が欠落していた
ために、問題が何を求めよと要求しているのか
理解できなかったこと。

何を訊かれているのさえ判らなくて、
正しい答えが出せる訳が無い　…というのは、
あまりにもアタリマエな成り行きだ。

どの「式」を使えば良いのかは、
問題の意味を読みこなした上で、そのとき
自分で考えればよいこと。
類題パターンを覚えて「絶対この公式を使う」と
暗記しろ　…という話では、全く無い。

いいかげん成長しろよ。

お礼

「この問題で反省すべきは、式の知識というよりも、「平均速度」という言葉の知識が欠落していたために、問題が何を求めよと要求しているのか理解できなかったこと。」

いいえ、実際に問題が解けずに悩んだ僕の視点からすると、これはそうは言えないと思います。なぜなら、たとえ言葉の意味を知っていたとしても、式を知らなければ問題は解けないからです。

この問題は、平均時速 = 道のりの合計 / 所要時間の合計を使えばいい、それ以外はＮＧだ、ということを知っていれば解けたわけですよねぇ？…てことは？…てことは、ですよね？？

回答No.10

Ishiwara

「平均時速」は「時速の平均」ではありません。
「平均時速」とは、暗黙の了解として、「距離の合計」÷「時間の合計」を指すものとされます。この了解のもとで、現実には混乱が起きることは、まずありません。

１学年にＡ・Ｂ２つのクラスがあって、学年の平均身長を求めるとします。もしＡ・Ｂが同じ人数であれば、（（Ａの平均）と（Ｂの平均））の平均、でいいのですが、人数が違うときは、この式は使えません。あくまで（学年全員の身長の合計）÷（学年全員の人数）であることが必要です。（Ｂ組には生徒が１人しかいなくて、その人の身長がすごく高い場合を想像してみましょう。）

（行きの平均時速）と（帰りの平均時速）の平均、は、これと同じ間違いをしているわけです。

お礼

＞この了解のもとで、現実には混乱が起きることは、まずありません。

公式と公式の特徴（これでなければダメ！）がヒントそのものだったわけですね。テキストでキチンとそこまで解説してくれていれば、初心者の人が後々苦労することもなかったことでしょう…。

ありがとうございました。

回答No.9

i7010_man

＞「なんでＡの式ならＯＫだってわかるんだろう？もしかしたらＢの式かもしれないのに」「なんでＡの式でなければならないんだろう？だってＢの式も使えるのに」

　実際、解き方がいくつかある問題は多いのですが、答えが違う時点でこの解き方には何か問題があるんだ、と考えるのが普通です。ですが、あなたの場合、問題があると感じる部分がおかしいのです。

　＞「Ａなら○、Ｂなら×」となるのですか？なぜ「Ｂでもできる。Ａにもおかしなとこはある」とならないのですか？？

　この質問自体がおかしいのです。Aというのは正しい解き方（問題で求められている解き方）のことでしょう？　Bでもできるかもしれない、というのはわかりますが、Ａにもおかしなとこはある　と考えることがおかしいのです。つまりは問題文がおかしい、問題を出した人の考え方がおかしい、と言っているようなものですよ。

　自分の考えに自信を持つのは良いことですが、問題文や参考書の公式にケチをつけようとするのはまだ早いです。答が間違っていたら、まず自分の理解力を疑ってください。どこかで自分は勘違いしているはずだ、と考えてください。

　今回の場合、答を出すためにあなたが考えた式は、

　　　12＋8＝20→20÷2＝10　正解は10km　　
　　　　　　　　　という式だけですね。
　　（もともと問題文に書いてある数しか使っていない）

　　この時点で答が違ったならば、

　＞16km離れた地点　
　＞行きにかかった時間…16÷12＝4/3時間
　＞帰りにかかった時間…16÷8＝2時間

　を全く使わなかったことに疑問を抱かなくてはいけません。あなたの式ならば、何Km離れていても答は10になってしまいますから。（ちなみに何km離れていても答は9.6なんですが。。）

　ここに書き込んでいる時点で、自分の解き方に多少の疑問は感じていたということなのでしょうが、少し自分の考えに固執しすぎているようで心配です。

お礼

ありがとうございます。

テキストの解説を読み、「Ｂがダメな理由が××であるなら、Ａだって××な点があるからダメなはずだ」と感じたのが正直なところです。

だから、「なぜＡなら○、Ｂなら×となるのですか？」と思ったのです。もうだいぶ勉強しているのに、「１の次は２」「３の次は４」という風に、区別をつけることができないのです。そのため、問題を解くときに、「どの式を使えばいいんだろう？なんでこの式を使えばいいんだろう？どうして問題が解けた人はそれがわかるんだろう？」という点で立ち止まってしまうのです。