公式通りに式をたてているのに必ず行き詰ってしまう

質問

勉強しているにも関わらず、新しい問題に挑戦しても全然解くことができず、苦戦しています。

問
Ａ地点の下流にあるＢ地点へ時速２５ｋｍのボートで行って帰ってくる。行きには２０分、帰りには３０分の時間を要した。川の流れは時速何ｋｍか。

段階１
かかった時間がわかっているから、それを比に表して
２０：３０（時間）→３：２（速さ）

段階２
時速を分単位にする必要があるので、６０でわる→１２５／３。

段階３
川の流れをＡとして、
（１２５／３）＋Ａ：（１２５／３）－Ａ＝３：２

段階４
…あれ？もうこれ以上どうにもできないなぁ。

じゃー、次の解き方に挑戦。

段階１
流速＝（下りの速さ－上りの速さ）÷２　なので、
（３－２）÷２＝０．５

段階２
答えは０．５だ!!……あれ？解答をみたら違う……

せっかく公式通りにやったのに、結局答えが出せないんです。どうして、公式通りにやっているのに答えが出ないんですか？この問題に限らず、公式通りにやっても、必ず途中で行き詰るｏｒ答えが出ても解答を違うんです。

回答No.32

koko_u_

>つまるところ、次のテーマは、問題に慣れて、
>ヒントのヒントに気付くことができるようになること、といった感じでしょうか。

そろそろクローズしたいけど、どうも言わんとしていることが伝わらないなあ。

学習態度として、「問題文からヒントとなるキーワードを探そう」とか「この問題の解答パターンは何だろう」という発想は止めましょう。

まあ、そのうち何とかなるような気もしますけど。

お礼

よくわかりませんが、ありがとうございました。

回答No.31

koko_u_

>「手探りでなんとなく推測する」、とか、「とりあえずこうやってみる」という道しか残されていません。

まったくその通りです。

>それは「解いている」のではなく単なる「実験」でしかありません。

いいえ。それが「問題を解く」という行為そのものです。

>考えても正しい解き方と答えを導き出せない、
>という現実がそこにはあります。
>そのあたりは、どう乗り越えればよいのでしょうか。

気が付いていないようですが、あなたは既に道具立てをすべて持っています。
それが使えるようになるには、いろいろ使ってみる（＝考えてみる）以外に方法はありません。

お礼

koko_u_さん、いつもご丁寧にありがとうございます。

色々な問題を解いていて共通することなのですが、行き詰まって解説を読むと、「途中の解き方までは正しい」ということはすごく多いのです。しかし、手探りでオロオロしながらやっているので、それが正しい解き方だという自信も持てず、途中までいけても、次にそれをどう展開していけばよいかわからず、結局不正解…というパターンは確かに何度も経験しています。

つまるところ、次のテーマは、問題に慣れて、ヒントのヒントに気付くことができるようになること、といった感じでしょうか。

頑張ります!!

回答No.30

koko_u_

>考えても正しい解き方は思いつかない
>考えても実際には問題が解けない。
>
>だから、どうすればよいのか？というのが僕の相談です。

ようやく核心に近付いてきましたね。
答えはシンプルです「もっと考えて下さい」

先の回答にも書きましたが、結論を急ぎすぎです。

「すぐに」正しい解き方を思いつけると考えてはいけません。
問題が解けないからといって「挫けて」模範解答を読んではいけません。

お礼

ありがとうございます。

「すぐに」正しい解き方を思いつけると考えてはいけません。
問題が解けないからといって「挫けて」模範解答を読んではいけません。

とありますが、現実には、解き方を知らない問題は、「手探りでなんとなく推測する」、とか、「とりあえずこうやってみる」という道しか残されていません。キチンと正しい解き方に基づいていない以上、
それは「解いている」のではなく単なる「実験」でしかありません。

考えても正しい解き方と答えを導き出せない、という現実がそこにはあります。そのあたりは、どう乗り越えればよいのでしょうか。

回答No.29

htms42

＃２５です。

だんだん分かってきました。

「Ｂ君が走った時間が（Ｔ－６）であることがわからなかった」
ということですね。

こういうことまでパターンのせいにしていますね。
「やった事がないから分からない、・・・。」
と言っていますね。

距離＝速さ×時間
は運動をしている主語に合わせて考えるというのが前提です。
物体Ａが移動した距離が知りたければ
Ａが運動した時間と
Ａが運動した速さを使います。
ここに別の物体の運動した時間とか速さを持ち込めばむちゃくちゃになります。

これは問題を解くテクニックではありません。私たちが日常で運動を考えている時の前提です。その意味では常識です。小学生、中学生、高校生は関係ありません。
だから公式以前のことなんです。
Ｂ君はＡ君が出発してから６分後にスタートしたと書いてあるのですからＡ君の運動した時間をＴとするとＢ君が運動した時間はＴ－６になるというのは当然なのです。公式でも法則でもありません。だから単に「翻訳」だと書いたのです。

あなたは公式というのを場面も何も考えずにただ数字を入れれば欲しい結果がでてくるものと考えているようですね。
そしてただ数式を操作するだけ答えが得られるものと思っているようですね。（この質問が数学のカテに出されていること自体がそういうあなたの考え方を反映しているように思います。これは物理の問題です。）

公式以前のことが分からないというのまでやったことがないパターンだということを理由だと考えているようです。

これでは見込みがないです。

スタートが遅れたので他の人がゴールに着いたときにまだかなりゴールの手前を走っていたというのは小学校でも経験します。一体どこが違いますか。

＞通常通り1160＝?（60+140）とすることができます

これも「反対向きに運動している時は・・・」という解法のパターンに従ったものですね。（６０＋１４０）がどこから出てきたかは一切考えていないでしょうね。

私が「これは場面を数式に翻訳したものだ」とした部分を全てパターンとして考えて公式のように扱おうとしている式です。
（＃２５に書いた私の方法ではこういう表現は使っていないでしょう。一度終わりまで解いてください。）

あなたの質問にある　段階３の
＞川の流れをＡとして、
＞（１２５／３）＋Ａ：（１２５／３）－Ａ＝３：２
も多分、３：２は「速さの比は時間の比の逆にになる」というのが「公式」としてでてくるのでしょうね。～の場合、～の場合と次々とパターンに分けられているのでしょうね。

距離一定という条件と距離＝速さ×時間という式とから出てくるとは思っていないのでしょう。

中学生は皆、こういうパターンを習うのですか。
特別な塾でだけ習うのですか。

はっきり言うより他に仕方がないですね。
今までのことは全部忘れてもらった方がいいです。

高等学校の授業には全くついていけないでしょう。

おまけ
余計な事になると思いますが

１１６０＝？(６０＋１４０)
がいけない理由を書きます。

Ａ君の速さとＢ君の速さが足し算になっています。
時間と速さ、距離は主語を同じにすると書きましたから
こういう式がでてくるためには時間を共通にしなければいけません。共通にするためには時間を６分後からにしないとダメなのです。
だから距離は１１６０ではなくてＡ君が６分後にいる位置と郵便局との距離（１１６０－６０×６＝８００）です。

＃２５を見てください。
ややこしい場合分けなどしなくても欲しい関係式は全て場面の翻訳で出てくるのです。

お礼

ありがとうございます。

htms42さんの分析にたいして、何かよい具体的事例がないかを探しています…見つかりましたら、すぐにまた書き込みさせていただきます。僕も、問題が解けるようになりたいんです。

補足

いい例を見つけてきました。

問その１
Ａ～Ｆの６人がチームを作り駅伝大会に出場する。次のア、イの条件を満たすように走る順序を決めるとき、その方法は何通りあるか。

ア：ＡからＣに必ずたすきを渡す。
イ：ＢからＦにはたすきを渡さない。

で、僕は初めにこの問題を解いたとき、（Ａ、Ｃ）ＢＤＥＦという風に、ＡＣをセットで考えてやれば解けるということを知らず、この問題が解けませんでした。でも、このときにこのテの問題はどうやって解けばいいか、を学びました。

問その２
ＡＢＣＤＥＦの６文字を一列に並べるとき、
１）ＡとＢが隣り合う並び方は何通りか。
２）子音が両端にくる並び方は何通りか。
３）ＡとＢの間に２文字だけに挟む並び方は何通りか。
４）ＡとＢが隣り合わない並び方は何通りか。

（１）と（４）は解くことができました。なぜなら問その１で、解き方を学んでいたからです。でも、（３）と（４）は解くことができませんでした。なぜなら、どうやって解いたらいいかを知らなかったため、正しい解き方の知識に基づかず、自分なりに手探りで考えた式が、間違っていたからです。

回答No.28

koko_u_

>そう、いくら勉強しても、問題はみんな中身が違く、よって、解き方も考え方も違く、
>よって、自分がどう間違えているかを前の問題で学んだとしても、全く活かせないのです。

どうにも結論を急ぎすぎているようですね。
問題１で学んだことが「すぐに」問題２で生かせるとは限りません。それは当然です。

ちょっと「学習」というプロセスそのものを勘違いしているような気がします。

数学に限らず、世の中は非常に複雑なので、何事も「パターンに沿って」行動すれば
うまく行くというものではありません。
マクドナルドのアルバイトだってマニュアル通りなだけでは勤まらないようにね。

では何を学習するのかと言うと、「考えること」それ自体を習得するのです。
早い話が「わからん状態でウンウン悩む」ことに慣れて下さい。こればっかりは教えようがありません。
急に「デキる」ようにはならないのです。自分で悩んだ分しか脳のシナプスは繋ってくれません。

hypnosis さんは『考えてるよ！』と言うかもしれませんが、まだまだ足りません。
「ちょっと分からないと、すぐに模範解答を読んだり、ひとに解答を求めている」ように見受けられます。
既に気付いたように模範解答を読んでも役には立たんのです。

私がこの手の回答欄に極力「解答」を書かないのも、それが何の役にも立たないからなのです。

お礼

ありがとうございます。

＞「わからん状態でウンウン悩む」ことに慣れて下さい。
＞「ちょっと分からないと、すぐに模範解答を読んだり、ひとに解答を求めている」ように見受けられます。

koko_u_さんのアドバイスのポイントはこの２つなわけですが…考えずにわからないと言っているのではなく、考えてもわからないから質問をしているのです（僕が何も考えずに質問しているわけではないことは、はじめの質問文で、自分なりの解き方を段階に示し書き込んでいることで、証明できると思います）

考えても正しい解き方は思いつかない
考えても実際には問題が解けない。

だから、どうすればよいのか？というのが僕の相談です。

補足

>既に気付いたように模範解答を読んでも役には立たんのです。

そうですね。どストライクです。同じような問題には活かせても、ちょっとでも違うところがあると、途端にどうしたらよいかわからなくなってしまうのです。役には立たん、痛いほど実感しています。

しかし、新しい問題に挑戦し、聞いたこともない複雑な条件設定がされているのを見ると、考えるだけで解けるとは思えないですし、実際に、解けませんし、どんな式を使えばいいのかさえ思いつかないのです…。

回答No.27

htms42

＃２５です。

参考のためにＵＲＬに示されている問題を解いてみます。
あなたも一度あなたのやり方で解いてみてください。
３つの解き方を比べてみてください。

Ａ君が歩いた距離（Ｌ１）を時間（Ｔ）と速さ（６０m/分）で表します。　　
Ｌ１＝６０T
Ｂ君が自転車で走った距離（Ｌ２）を時間（Ｔ）と速さ（１４０m/分）で表します。　
Ｌ２＝１４０（Ｔ－６）
（Ａ君が出発してから６分後にB君がスタートしたと書いてありますからＢ君の走った時間は（Ｔ－６）です。これも言葉から文字への翻訳です。）　

ここから後はＡ君とＢ君の位置の関係を表す文章になります。場面が言葉で示されているのを文字に翻訳していくのです。
位置を表すためには共通の基準を選んでおく必要があります。Ａ君のスタート地点を基準にするのが分かりやすいでしょう。位置を表す時は向きも関係します。駅より西にいる場合は符号が－になります。

Ａ君は駅から東に　Ｌ１　のところにいます。
Ｂ君は駅から東に　１１６０－Ｌ２　のところにいます。　
　（B君は駅から１１６０ｍ離れた所から反対向きに走り始めたからです。これも翻訳です。）

これで準備完了です。段階に分けるとしたらここです。

後、２人の位置関係がどのように設定されても全て同じ考え方で解くことができます。

（イ）Ａ君とＢ君が出会うところは？
（ロ）Ｂ君が駅に着いたときのＡ君の位置は？
（ハ）Ａ君が郵便局に付いた時、Ｂ君はどこにいるか。
（ニ）Ａ君とＢ君が 駅から同じ距離離れた所にいる時、時間と距離は？
（ホ）Ｂ君が駅から１０００ｍ西にいる時のＡ君の位置は？
・・・
いくらでも作ることが出来ます。
これを異なるパターンと考えてはいけません。
全部別の問題ですが同じ式を使って解くことができます。これ等の問題は互いに無関係です。順番に解かなくてもかまいません。

（イ）は　１１６０－Ｌ２＝Ｌ１　です。　
（ロ）は　１１６０－Ｌ２＝０　です。　
（ハ）は　Ｌ１＝１１６０です。
（ニ）は　L１＋1１６０－Ｌ２＝０　です。　
　　　　（　１１６０－Ｌ２＝－Ｌ1　です。A君は駅の東側、B君は駅の西側にいますから符合が逆になります）
（ホ）は　１１６０－Ｌ２＝－１０００　です。　
・・・

時間が決まりますから位置を求めることが出来ます。

使っている式は「距離＝速さ×時間」だけで、後は言葉で表されている場面設定（条件）を文字を使った式に翻訳しているだけです。分かっていただけたでしょうか。

文字を使った式を全部公式のように考えると行き詰まります。

いくつも解法があるのではありません。

同じ考え方でできるということで言うと
Ｂ君の速さが分からないという場合もありです。
代わりに（イ）とか（ロ）の時間が分かっていれば解くことができます。

でも多分、塾の発想で言うと全く違うパターンとして教えているのではないでしょうか。
「距離＝速さ×時間」ですから３つの中の２つが分かっていれば残りのひとつは決まってしまいます。どれが分からないかは変わっても同じ式を使って同じように考えるのです。これをまたパターン分けをしていると際限なく場合が増えていきます。

同じ向きに運動しているのか反対向きか、
同時スタートであるかスタートの時間がずれているのか、
・・・
をまた場合分けしてしまうときりがありません。

代数的な発想というのはそういう場合の違いを文字の中に込めてしまっているのです。使った文字の値がどのように変わるかの違いで表してしまうのです。

お礼

ありがとうございます。

Ｂ君が自転車で走った距離（Ｌ２）を時間（Ｔ）と速さ（１４０m/分）で表します。　Ｌ２＝１４０（Ｔ－６）

そう、僕はこれもわからなかったのです。６分後云々というややこしい条件がなければ、通常通り1160＝?（60+140）とすることができます。しかし、6分後に出発したわけですから、この式をこのまま使うことはできません。じゃあどうすればよいのか？思いつくことはできませんでした。なぜなら、やり方を知らないからです。

もし、同じような条件の問題を解いたことがあれば、解くことはできたでしょう。解き方を知っているのですから。

＞「距離＝速さ×時間」だけで、後は言葉で表されている場面設定（条件）を文字を使った式に翻訳しているだけです
＞代わりに（イ）とか（ロ）の時間が分かっていれば解くことができます。

しかし、僕はこの問題は自力では解くことはできませんでしたよ。なぜなら、この問題は、問題の内容をややこしくする、複雑な条件が加えられているからです。

同じような問題をやったことがあれば、「こういう問題はこうやって解く！」とわかったことでしょう。でも同じような問題をやったことがなかった僕は、「どうやったら解けるのかが」が発想できず、結局解けなかったのです。

だから、正解を導き出す公式は、何をヒントにどんな風に考え出せばよいのか、が知りたいのです。それを知ることができれば、「こういう問題はこうやって解けばいい」と、それぞれの問題に対応できるでしょう。

回答No.26

koko_u_

>僕の陥っている悩みは、誰もが通る道であって、
>別に勉強方法が間違っているわけでもなければ、
>ちっとも気にする必要もない、ということだったのでしょうか…。

いやいや。
「目指すべき方向を大きく間違えています。」と言っておるように、間違えています。

私には、hypnosis が出題される可能性のある問題すべてを
一言一句あやまたず全て記憶しようとしているように感ぜられます。

前にも回答したような気がしますが、模範解答を見るのを止めましょう。
そこではあたかも「パターンにのっとって」解が導かれているように書かれていますが、
すべてはまやかしです。

もう一度、自分の解答を読んでみましょう。
今なら自分がどこで間違えているのか気付くかもしれません。
「答えが合わない」ではなく、「どう間違えているか」を知りましょう。

お礼

koko_u_さんへ、ありがとうございます。

＞「答えが合わない」ではなく、「どう間違えているか」を

ここで解説を頂くと、わりとすんなりと「あー、そっか！そういうことだったんだ！」と理解できます。（ただし、自分が考えていた解き方とはまるっきり違う解き方の解説も多いので、「？？」となってしまうことも多いですが…）。

さて、問題１を、悩みながらも結局最後は「あー、そっか！」と納得できたhypnosis君は、問題２に挑戦したら、問題１で学んだことを活かして正解することができるでしょうか？今まで散々相談してきましたから、答えは説明するまでもないですよね。

そう、いくら勉強しても、問題はみんな中身が違く、よって、解き方も考え方も違く、よって、自分がどう間違えているかを前の問題で学んだとしても、全く活かせないのです。英単語をいくら勉強したって、ポルトガル語は話せるようにはならないですよね。使っているものが違うのですから。

どう間違えているか、を学んでも、それはその問題・もしくは類似した問題にのみ活かせるものであって、別の問題を解く上では鍵にはならないのです（だから、僕はここで質問する問題が後を絶たないのです）。

回答No.25

htms42

＃２２です。

補足欄に書かれているＵＲＬを見てみました。

あなたの書いておられることと全く同じです。

・パターンで考える、
・示された段階ごとに解く、
・どの式を使うかが分からなくなって行き詰る、
・「距離＝速さ×時間」で解けると言われても、・・・
・初めてのパターンだから出来なくても当たり前、・・・
・次から次と違うパターンが出てくるので困る、

前にも書いたのですが
あなたは中学生ですね。
どこか進学で有名な私学の高等学校を目指しているのでしょうね。

塾か予備校でこういうのを習うのでしょうね。
パターンと段階的な解法を覚えれば出来ると習うのでしょうね。
でもどういうパターン分けがあるのでしょうか。

高等学校ではこういうのを教えません。
こういう方法で何とかできるようになって高等学校に入ったとします。
「そういう方法は忘れなさい！」と言われるかもしれません。

あなたの責任ではないのでしょうが、気の毒としか言いようがありません。

質問文の中で未知数を使った式を示しておられますのでそれを見た回答者はあなたが代数的な方法を身につけている、またはその方向で回答を考えてもかまわないとされています。でも違うようです。
鶴亀算や植木算と同じような算術的な発想で解こうとされているのです。
参考ＵＲＬの中の質問文に示されている解き方は全くの算術です。この解き方を見ればあなたでも違和感を覚えるはずなんです。でも共感できると書いておられますからあなたの発想法も算術的なのです。
算術には一般性がありませんのでパターンに分けないと対応が出来ないのです。

使う式は「距離＝速さ×時間」だけだ
というのは私も書いてきました。

違う量を結びつける式は覚えていなければできません。
「公式」と言う言葉を使うとしたらそういう関係式に対してです。

あなたの出した問題でもＵＲＬのなかにある問題でも必要な式は「距離＝速さ×時間」だけです。加速度の出てこない運動の問題では使う式はこれしかないのです。後は問題ごとの場面設定です。問題設定は普通、言葉で表されています。
それを文字を使った関係式に変えていくのです。でもこれはいわば「翻訳」です。得られた式は「公式」ではありません。
「ＡはＢの２倍」と書かれていれば「ａ＝２ｂ」と書き換えます。「ＡはＢよりも１０多い」と書かれていれば「ａ＝ｂ＋１０」と書き換えます。「ＡはＢの２倍よりも１０多い」とあれば「ａ＝２ｂ＋１０」になります。ここでの式は公式ではありません。単なる翻訳です。パターンが３つあるのではありません。いくらでもバリエーションをつけることが出来ますが全部同じことです。

文字を使った式が２種類出てきます。１つは距離の式です。もう１つは場面設定の式です。

お礼

ありがとうございます。

＞鶴亀算や植木算と同じような算術的な発想で解こうとされている
＞あなたの発想法も算術的なのです。
＞算術には一般性がありませんのでパターンに分けないと対応が出来ない

すいません、えぇーっと、ちょっとわからないのですが。つまり、そこが僕の解き方や考え方の間違っているところで、そこを改善すれば問題が解けるようになる、ということなのでしょうか？

＞あなたの出した問題でもＵＲＬのなかにある問題でも必要な式は「距離＝速さ×時間」だけ

しかし、現実的に発生している壁としては、「その式を使っても問題が解けない」ということです。なぜなら、やったことがない問題だから、どんな解き方をすればいいか「知らない」からです。やったことがある問題なら、どう解けばいいかを「知っている」から解けるかもしれませんが…。

僕は、htms42さんの分析にとても興味があります。問題が、ちゃんと解けるようになりたいんです。

回答No.24

koko_u_

>間違えた根本的な理由はすなわち、「やったことがないパターンの問題だから」、だと思います。

違います。「パターン」などという意味のない言葉に逃げ込み、思考が停止しています。

>手探りの状態でやっているだけなので、必ず行き詰ってしまいます。

誰でも手探りで問題を問いています。
模範解答にはその「手探り」の部分が書かれていないので、
あたかも天啓を得たかのように見えるだけです。

>僕も「この問題は問題文に書いてある○○をヒントに
>この式を使えばいい」と、わかるようになりたいんです。

目指すべき方向を大きく間違えています。
問題文からキーワードを拾って、魔法の公式に当て嵌めれば正解が得られるなんて、
どこのファンタジーですか？

お礼

koko_u_さん、ありがとうございます。

つまり…「勉強をしているのに解けるようにならない」「ちょっとでも違い言い方をされるとすぐ解けなくなってしまう」「自力では必ず間違えてしまうのに人に言われると理解できる」という僕の陥っている悩みは、誰もが通る道であって、別に勉強方法が間違っているわけでもなければ、ちっとも気にする必要もない、ということだったのでしょうか…。

今のまま勉強していれば、本当に問題が解けるようになるのですか？とても心配なのですが…。

回答No.23

koko_u_

>それは、公式の立て方が間違っているということなのですか。
>それとも、知っている知識を活かして、別の式を考えることが
>できないということなのですか。

重要なのは、「自分が」何を間違えたのか？どこが悪かったのか？
何が曖昧であったのか？を理解することです。

模範解答ではなく、「自分の」解答をよく読んで、
間違えた箇所を修正して下さい。

公式は考え方を集約したものです。それは「他人の」思考です。
「自分の」考えとその他人の思考のギャップを埋めて下さい。

お礼

ありがとうございます。

間違えた根本的な理由はすなわち、「やったことがないパターンの問題だから」、だと思います。やったことがあれば解き方を知っているから解けますが、やったことのない初めてのパターンの問題は、当然解き方を知らないです。

そのため、あれやこれやと考えても、それは「こう解けば解ける！」という根拠に基づいて解いているのではなく、手探りの状態でやっているだけなので、必ず行き詰ってしまいます。

当然、ここでコメントをつけてくださってる方々は、算数が得意で、色々なパターンの問題を数多くこなしている経験があるから「この問題はこう解けばいい」とスラスラ解いて解説をしてくださるわけで。だから、僕も「この問題は問題文に書いてある○○をヒントにこの式を使えばいい」と、わかるようになりたいんです。