０の０乗を１と考える

質問

べき乗x^n を、1 に x を n 回掛けることと考える場合がある。
その場合は 0^0=1 である。
これは、総乗を使って x^n=Π[i=1,n]x と考える場合も同じである。
総乗の場合も、何も掛けないこと、つまりΠΦは 1 となる。
この時、べき乗の定義を、次のように考えていることになる。
・x^0=1,
・x^(n+1)=x^n*x (n>=0).
この変更により変化するのは、0^0 の値だけである。

以上の文章に、間違いはありますか？

なお、これに従ったべき乗に、利便性や0^0での連続性はありませんが、
それは一般的なべき乗でも同様であり、
どちらが正しいかを数学的に証明することはできません。

回答No.22

arrysthmia · ベストアンサー

←No.21 補足
二つの問題が、ゴッチャになっていますね。
一つは、実数の有理数乗を拡張して、実数乗が連続になるようにできるか？という問題。
もう一つは、複素多価のべき乗を、連続な枝の集まりに整理できるか？という問題。
No.18 までは前者を、No.21 は後者を、問題にしているようです。
後者の説明には、前者の結果を使います。前者の証明は、後でまとめて書くことにして、
まづは No.20-21 の応答を完結させるために、後者から話を始めます。

正の実数 a と有理数 m/n に対して、「a の　m/n 乗」を y^n = a^m の解 y と定義すると、
このような y は、複素数の範囲で n 個、正の実数の範囲で 1 個、存在します。
y を x の関数と考えると、前者は複素多価関数、後者は実(一価)関数となります。
区別のため、前者を a↑x、後者を a^x と書くことにしましょう。
a^x を x について連続な実関数に拡張できることは、後で証明することとして、
ここでは仮定しておきます。

a↑x と a^x の間には、a↑x = (a^x) exp(2πixn) （ただし、n は整数）という関係が
あります。ここで、n は任意の整数であり、当面、x ごとに異なると考えてよい。
n が x の関数であることを強調して n[x] と書くことにしましょう。上式より、
| a↑(x+ε) - a↑x | = (a^x) | 1 - (a^ε) exp{ 2πix(n[x+ε] - n[x]) + 2πiεn[x+ε] } |
という式が成り立ちます。a^x の連続性は仮定しており、a > 0 より lim[ε→0] a^ε = a^0 = 1
にも問題がないので、この式から、ε→0 のとき a↑(x+ε) → a↑x か否かは、
n[x+ε] → n[x] であるか否かと同値でることが分かります。
n[x] は、整数値をとる関数ですから、連続であれば、定数関数に限られます。
つまり、a↑x の連続な枝は、a↑x = (a^x) exp(2πixn) （ただし、n は整数定数）に限られる
ということです。

a↑(1/2) を、あり得る二つの値の中から一つ選択したということは、
exp{2πi(1/2)n} の値が分かったということです。exp は周期 2πi を持ちますから、
それは、n を 2 で割った余りが分かったことに等しい。同様に、
a↑(2/3) の値を選べば n を 3 で割った余りが、a↑(11/13) の値を選べば n を 13 で割った余りが、
決まる。これだけでは、n の値は決まらず、a↑(1/e) の値も決まりません。

無理数 x に対する a↑x の値を特定するためには、n を決定する必要があります。
例えば、全ての素数 p に対する a↑(1/p) を選択するなどすれば、a↑(1/e) を決めることが
できるでしょう。

お礼

＞無理数 x に対する a↑x の値を特定するためには、n を決定する必要があります。
＞例えば、全ての素数 p に対する a↑(1/p) を選択するなどすれば、a↑(1/e) を決めることができるでしょう。

これは、実際にやってみれは真偽を判定できます。
すべての素数に対して、余りが 1 などと決まれば、本当にa↑(1/e) が決まりますか？

私は、一番楽そうなのをやってみました。
2 で割った余りが 1 で、その他の素数での余りが 0 と仮定しました。
この場合、a↑x はすべての有理数に対し実数値となります。
a↑(1/2)は負の数、a↑(1/p)は正の数です。
2πn(1/e)=2πm と置けば 1/e=m/n となり n=0 でなければ m は整数ではありません。
同様に 2πn(1/e)=π(2m+1) と置けば m は整数ではありません。
つまり a↑(1/e) は正の数でも負の数でもなく、共役複素数が答えになるでしょう。
私に計算できるはここまでで、具体的な答えは出ませんでした。
＃n=[+-]3以上の素数の積にはなりますが…

ありがとうございました。

回答No.14

ringohatimitu

＞＞ところで、質問で書いた定義に問題はないという回答をもらっていますが、これがべき乗の定義として採用されていない理由はどう考えていますか？この文章がWikiに（べき乗の別の定義として）追加された場合、それも「高校生が…」という理由で現在の定義になっていると説明しますか？

はっきり言って「べき乗の定義」はどんなものを採用しようと自然数の乗法に合っていればそれで問題ないと思いますが。自然数に対する冪乗は単なる記号でしょう？それを実数まで拡張した場合はまた別の話ですね。あなたの定義の指数部分は自然数ですから全然問題ないと思いますが？？何回も言ってるように「自然数乗」だけ考えてるのなら0^0=1として結構です。Wikiがあなたの定義を採用していない理由は知る由もありません。誰かが変えても気づかない人も多いかもれませんね。

＊＊あなたは質問文において「実数乗」というものを定義してませんね。

「自然数の場合」にあなたの定義を採用しようがWikiの定義を用いようがどうでもよいと思います。見当違いの意見でしたらすみません。まあただ数学の本質はそんなところにはないというのが本音です。
下の回答で高校生が・・・と述べたのはあなたが「理由」を要求してたのでそれの「候補」を挙げたまでです。それがあなたの理由として相応しくないのであれば流してください。

もちろん、個人的な意見を述べれば、現在のWikiの記述で十分だと考えていることは言うまでもありません。

お礼

＞それを実数まで拡張した場合はまた別の話ですね。

私の定義は 0 を含めた自然数乗ですが、べき乗はそれ以降、負のべき乗や有理数乗に拡張されて行きます。
実数乗に拡張し指数関数にする際は、0 のべき乗は除かれますので、辻褄は合うでしょう。

＞＊＊あなたは質問文において「実数乗」というものを定義してませんね。

Wikiの「0の0乗」の項目も同じであり、lim[x→+0]0^x=0 が出てきますが、実数乗が定義された上で使われているのではありません。
＃後の方で「通常 y が正の実数のときは 0^y = 0 と定義し」という記述はありますが…
もしかしたら、有理数乗の定義だけで極限値を求めているのかもしれませんが、それが許されているのかどうかは、私には判断できません。
有理数乗だけで、連続にならないことを理由に未定義としているならば、それにも違和感があります。

私としては、0^x をどういう原理（連続性？指数法則？）で定義するのか、実数乗を定義するのか、その上で連続かどうかが問題になるのか、その場合の問題が矛盾のように絶対的なものなのか利便性による相対的なものなのか、などについても明確に記述される方が、Wikiとして充実した内容になると思っているのです。

ありがとうございました。

回答No.13

graphaffine

冪乗の定義はwikiに基づいているのですよね。wikiでそれを確認しました。
指数を0または、負の整数へ拡張する部分は、以下の通りです。

xが逆元 x^(-1)をもつならば、自然数nに対しx^(-n)=(x^(-1))^nと定義し、また x^0 を乗法に関する単位元と定義することによって、x を底とする冪乗の指数を整数の範囲まで拡張することができる。

ここで、逆元、単位元という言葉を使っていることから分かるように、xはある群の要素であることが前提です。今は実数の場合の話ですから、その群は実数体の乗法群（0以外の実数全体からなる群）と考えることが自然です。
従って、wikiでは、0の0乗は定義されていません。－－－（Ａ）

>べき乗x^n を、1 に x を n 回掛けること
これを、冪乗の定義と勘違いしている人がたまにいますが、単なる計算方法の説明であって、議論の出発点とするには無理があります。
正しい定義は、wikiの通りです。その場合、（Ａ）で言いましたように、

>その場合は 0^0=1 である。
ということは言えません。

お礼

＞xが逆元 x^(-1)をもつならば、…x^0 を乗法に関する単位元と定義

Wikiの0乗の定義はよく知っています。
ただし、Wikiを修正しようという意図で質問していますので、それは参考にしかなりません。

それに、逆元は群の話ですが、単位元は群でなくても存在します。
よって、x が 0 の場合も、単位元という言葉は使えます。
それは、0^0 が単位元と定義できる可能性を意味します。

＞これを、冪乗の定義と勘違いしている人がたまにいますが

そうですね。勘違いしている人が確実に存在します。
よって、質問で示した定義を、通常のべき乗の定義とは異なることを示して追加すれば、その勘違いに気付かせることができ、その目的のためにWikiを修正することは可能だと考えています。

問題は、その場合に、通常の定義が正しくて、こちらの定義が間違っているという理由が存在しないことです。

＞議論の出発点とするには無理があります。

この言葉の意味を、説明していただけますか？

ありがとうございました。

回答No.12

arrysthmia

←No.10 補足

＞ lim[x→π]0^x=lim[n→∞]p_n=0

それは正に、0^x が x=π で連続であると仮定することで 0^π=0 を導く計算です。
「普通の」べき乗では、そのようにして無理数乗を定義するのが慣習でした。
指数法則を使い、連続性を仮定することなく、無理数乗を定義してみよ
というのが先の要求です。その答えは、それを満たしていません。

そんな方法は、私には思いつかないし、不可能ではないかと感じられます。そして、
もし、それが不可能であれば、指数を実数まで拡大するには連続性に依るしかない
という結論になります。実数指数を定義するために連続性に依るのなら、不連続に
なっていまう 0^0 まで定義を広げるのは、勢い余って一貫性を欠いたと言わざるを
得ません。

＞ lim[x→0]0^x も定義できないので、次の条件が成立しません。
＞ lim[x→0]0^x=0^0

それ故に、0^0 は定義域から除いて x^y を定義域全域で正則にしておくのが良い
というのが、流通しているべき乗の定義です。実は分かっているじゃありませんか。

＞ lim[x→-0]0^x がどうやっても定義できないからです。

これは、どうでもいいようなことですが、
定義 x^y = lim[u→x,v→y] exp(v log u) の下では、lim[x→-0] 0^x は →+∞ の
定発散です。収束しないので、「定義できない」と言うこともできますが、
lim[u→0,v→0] x^y のような振動の場合とは、状況が随分違います。
連続性を無視して掛かろうという人には、理解できない違いかも知れませんが。

お礼

＞その答えは、それを満たしていません。

なら、それでもいいです。
私にも、これ以上は思い浮かびませんし。

逆に、0^0 が連続性で求められることを示してもらえませんか？
今回の証明は、0^0 には使えないと考えていますので。

もう一つ以前からの疑問があるのですが、関数x^0 についてはどう考えていますか？
x^0=lim[u→x]exp(0*log u)
この定義ならば、x=0 で 1 になります。

ありがとうございました。

回答No.11

ringohatimitu

＞つまり、「連続性が破綻する」⇒「0^0は未定義とする」が言えないのならば

において「0^0は未定義とする」というのは何ですか？命題のつもりですか？「～とする」なんて表現が命題なわけないでしょう。「～とする」かどうかは各個人の自由でしょう。どうしてそういう人間の主観による操作を数学の命題として持ち込むのですか？なんだろう、、数学を人間を超えた何かだとでも思ってるのでしょうか？

ちなみに、あなたが高校生レベルだという自己評価を踏まえて、さらにあなたが過去に質問したときに明らかになったあなたの「連続性に対する完全な理解不足による」lim_{x,y→+0} x^y=1の主張（変な定義を後から色々と持ち出して結局1ではないことに同意されたようですが）、を考慮すれば0^0=1という定義を安易に追加することにより「多くの高校生」がその極限値も1になるだろうと(あなたと同じ思考で)勝手に思い込んでしまうのは「容易」に想像できます。これはあなたとたくさんの回答者によるやりとりから得られた「一番理にかなった」「0^0=1を定義しない」理由と思われます。

お礼

＞「多くの高校生」がその極限値も1になるだろうと…思い込んでしまう
＞「一番理にかなった」「0^0=1を定義しない」理由と思われます。

何度も言いますが、私が変更したいのは理由であって、未定義か１かに興味はありません。
＃Wikiは常識を記述したものなので、その意味では未定義を変更できません。
その理由が、高校生の理解力ならば、「高校生には難しいので未定義」と記述して欲しいと要求するだけです。

ところで、質問で書いた定義に問題はないという回答をもらっていますが、これがべき乗の定義として採用されていない理由はどう考えていますか？
この文章がWikiに（べき乗の別の定義として）追加された場合、それも「高校生が…」という理由で現在の定義になっていると説明しますか？

ありがとうございました。

回答No.10

arrysthmia

＞ つまり、指数が実数の時も、0^0 が定義出来て、それが 0^0=1 であれば、問題はないですよね？

それ以前に、指数が無理数の場合をどのように定義するつもりなのかを開示しなさい
と言っているのです。　連続性以外の方法で、できるんでしょうね？

貴方が好むと好まざるとに係わらず、関数の定義域を拡張する際に、正則性を保って拡張する
というのは、べき乗に限らず、関数を拡張する上での一般的な慣習であり、誰もが知っている
「普通の」べき乗も、乗算の繰り返しから出発して、そのように拡張されたものです。
指数が有理数に限定されていた「べき乗」を、実数指数まで拡張した際に、各点で連続である
ことを条件にしたはずなのに、どうやっても連続にならない点へ更に定義を広げるのは
蛇足であろう　というのが、0^0 未定義を推す主な理由です。
計算間違いの原因になるだけの定義を追加することは、煩雑なだけで利益が少ないのです。

＞ 底にだけ、連続性を仮定するなら、矛盾はありません。
＞ 指数に連続性がないことは、すでに証明されている事柄です。

どのような証明だか、一度見てみたいものです。「指数は有理数に限定したから連続でない」
だったら、爆笑ですが。

底の連続性は容易で、指数の連続性に問題点がある　という考えは、貴方が、0^0 の複雑さの
実態を把握できていないことをハッキリ示しています。x^y = exp(y log x) という変形をみれば、
0^0 の特異性の元凶が、^0 よりもむしろ 0^ にあることは、分かる人の目には明らかなのです。
0^0 を定義したいとか、値は 1 がいいとか、標準的でないことを提唱するまえに、まづ、
そこで自分が扱いたい対象をよく理解しましょう。「見る前に跳べ」は、数学には似合いません。

大切なのは、それによって、べき乗の定義の意味をより深く理解でること　です。

お礼

＞連続性以外の方法で、できるんでしょうね？

え～と、こう言われた場合に、何を使うなということなのかが私には理解できないのかもしれませんが、出来るだけやってみます。
0^π=0 が示せれば良いのでしょうか？

「連続性を使うな」なので、指数法則を使ってみます。
0^1=0 は定義から明らかです。
0^3=0 も大丈夫でしょう。
πを２進数で表すと、11.0010010000...
lim[x→π]0^x=0^3*0^(1/8)*0^(1/64)*...
小数点以下 n 桁まで求めた値を、p_n とすれば、0 の有理数乗はすべて 0 なので、p_n は 0 のべき乗（自然数乗）となり、その数列はすべて 0 でしょう。
lim[x→π]0^x=lim[n→∞]p_n=0

＃この証明は 0^0 には使えません。
＃使えるのは x>0 である任意の実数 x についてです。

＞どのような証明だか、一度見てみたいものです。

lim[x→-0]0^x がどうやっても定義できないからです。
lim[x→0]0^x も定義できないので、次の条件が成立しません。
lim[x→0]0^x=0^0

ところで、この質問は、べき乗の定義の、別の形が考えられるということですので、そちらも考えてもらえませんか？
今行っている議論とはまったく別の理由で、（つまり議論の成否と関係なく）べき乗の定義を変えようとしているのですから。
ただ、この考えで指数関数を定義すると煩雑になるのが欠点ですが。
x^0=1
x^1=x
x^(y+z)=x^y*x^z
このようになるので、x>0 では意味のない、最初の式を利便性の面から削除しようという考えには、同意するかもしれません。

ありがとうございました。

回答No.9

ringohatimitu

あなたの定義は問題ありません、これは繰り返し回答したつもりです。
ただWikiが間違ってるというから確認しただけです。
引用した記述にある理由を「証明」だと言ってるようですがどうしてそのような思考になるのですか？数学において証明とは「命題」の証明のことでしょう。理由というのは命題でも何でもない「人間の感情」です。心理と数学を一緒にしてるのでしょうか？？

それにしても数学という学問における厳密さというものを完全に誤解してますね。数学で厳密であるべき箇所は「命題の証明における論理」です。「これこれ」を「こう定める」という「理由」に「証明」という言葉を持ち出すことが意味不明でしょう。そもそも命題がないのですから。どれが命題ですか？？それとも「0^0は未定義とする理由の一つは連続性の破綻である」というある意味における命題（？）を考えているのですか？これが間違いであると主張するならまずすべての言葉を数学の言葉で定義してください：未定義とは、理由とは、破綻とは、、、、
それでなければこういうところに厳密という概念を持ち出すことは意味をなしません。

定義は命題でもないし、「定義する理由」は単なる言葉（感情の表現）で明らかに証明という行為とは無関係です。

お礼

＞定義は命題でもないし

定義には論理が必要ないという考えですか？
今の定義は、高校生が考えても、訳が分からない文章です。
＃私の学力の自己評価は、高校生レベルです。

まあ、厳密な数学が使えない私が言うべきことじゃないことかもしれませんけど…

でも、高校生には意味が分からない、そして厳密な数学でもないとすると、その文章は誰のためにあるのですか？

＞「0^0は未定義とする理由の一つは連続性の破綻である」

この場合の理由とは、証明でもなんでもないですよね。
直接証明を書くべきだ、とは言いませんが、それが想像できる程度には書くべきでしょう。
それとも、あなたには何かが浮びますか？
＃定義しない方が面倒がない、という位なら私にも浮びますが…

つまり、「連続性が破綻する」⇒「0^0は未定義とする」が言えないのならば、「連続性が破綻する」⇒？⇒「0^0は未定義とする」が成り立っていて、？の部分が厳密な数学を使える人には想像できなければならない、と言っているのです。

ありがとうございました。

回答No.8

ringohatimitu

それに合わせて修正？？
Wikiの文章は至極まともだと思いますけど。

以下Wiki引用
--------------------------------------
0の0乗（0の0じょう）とは何か、ということはしばしば初学者の議論となるところであるが、これはただ数学用語を組み合わせただけの言葉であって、特別な意味は持たない。すなわち、標準的な教科書においては0の0乗は定義されない。

0の0乗が通常定義されないのは、2変数関数 xy が、原点 (0, 0) において値をどのように定義しても連続にならないことが理由の一つである。もっとも、0の0乗に対して特定の実数値を定義する場合もある。ただし、それは数学的必然性によるものでなく、あくまで便宜的なものである。

-------------------------------------

これのどこがおかしい？？何回も繰り返しほとんどの回答者が言われているように「定義」することに意味はありません。0^0=1と定義したからといって特別便利になるわけでもないしそれに「新しい考え方」が含まれているわけでもない（ここが一番重要）。ただ何かを付け加えるだけ。それは間違いの修正とは言わないです。現代数学において今以上の指数法則は要求していないと思います。
log(x)という関数を実数全体で定義するための「a>0に対し2log(-a)=log(-a)+log(-a)=log(a)=0だからlog(-a)=0と定義しよう」という主張と似てます。ここで「対数の法則log(x)+log(y)=log(xy)」は全域で満たすとします（あまり良く分かりませんが）。

こういった類の定義なんてしようと思えばいくらでもできてかつ意味はありません。別に実数に限れば「log(x)=0 for all x<0」で構わないのです。これを教科書やWikiに付け加えるだけの価値を数学者は見出せないのです。むしろ状況に応じて変えた方が余程辻褄が合うというのが真実です。要するにあなたのしようとしていることは数学ではなく「あ」という文字を「えぉ」と発音しましょうと提案してることと同じだということです。

お礼

＞Wikiの文章は至極まともだと思いますけど。

次の箇所に問題があります。
＞連続にならないことが理由の一つである。

関数のある点での値の決定に、その点での連続性は必要条件ではありません。
だから、この文は、未定義にする積極的な理由は、何一つ言っていません。
おまけに、それを理由の一つという曖昧な表現にしています。
つまりこれは、連続にならないことを理由と受け取れない人に、理由を示さずに未定義を主張していることになります。
それが厳密な数学とは到底思えないのです。
これを、まともな証明として記述してあるなら、それは間違いと見なすべきです。

＞0^0=1と定義したからといって特別便利になるわけでもないし
＞現代数学において今以上の指数法則は要求していない

こちらの方が、連続性よりはまともな理由ですね。
その意見には同意しますが、中学生にその言い方で通用するかというと、難しいものがあります。
それに、多分それだけでは、質問で提示したべき乗の定義を否定するには不十分である気がしています。
このべき乗の定義で問題があると思われる点を、指数関数の定義を持ち出さずに説明できるなら、それを示してください。

ありがとうございました。

回答No.7

arrysthmia

＞ 中学生にいきなり指数関数は早すぎますし、1.7乗という意味は分からなくても、x^2 という記号は使います。
＞ べき乗には、指数を制限した定義も必要なのです。

それは、違います。
初学者に対して、ひとまず自然数乗のみを教えたい、というなら、マトモな x^y の y が自然数である場合のみ
を扱えばよいのです。後々 y を実数まで拡張するときには取り下げたほうがよい定義を、付け加えておくのは、
親切でも何でもありません。「やっぱ今度からコッチね」では、後で混乱させるだけです。
それは、あまりに乱暴な意見ですね。

＞ 未定義とする、数学的に厳密な理由が知りたいだけです。

任意の定義の同等性については、
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4469777.html No.5 で sin について述べた通りです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html?ans_count_asc=20 No.7 も趣旨は同じだと思います。

と、述べましたが、意味が分かりませんでしたか？

＞ 実数になると矛盾が存在するのだろうと考えていましたが、どうやらそれもないようですね。

実数の範囲まで拡張するときに、連続性を仮定すると、それに矛盾するのです。
連続性を仮定せずに x^y の y を無理数まで広げる方法について、貴方は未だ述べていませんね。
意見の開示がなければ、その誤りも指摘できません。

＞ 私の提案した定義が普通でないように思えるのであれば、
＞ それがどこなのか、よろしければ教えてください。

何が「普通」であるかは、証明するような事項ではなく、現実に世間で何が起こっているかを見て知る事項です。
くどいほど繰り返しているように、貴方の関数を提案することが悪いといっている回答者はいません。貴方の関数が
世間で「べき乗」と呼ばれているものとは異なるものであることを伏せて、「こっちが正しいんだ」のようなことを、
Wikipedia のような主に素人が参照する辞書に書き込もうというのは、傍迷惑に過ぎると言っているのです。
場所と相手をわきまえた表現が必要だ、ということです。

お礼

＞後々 y を実数まで拡張するときには取り下げたほうがよい定義を、付け加えておくのは、親切でも何でもありません。

理解していますよ。
だから、#6で次の文章を加えています。
＞＃ただし、全域で指数が実数のべき乗と一致する必要があります。
つまり、指数が実数の時も、0^0 が定義出来て、それが 0^0=1 であれば、問題はないですよね？

ただし、今の指数関数の公理に 0^0=1 や x^0=1 を付け加えるのは、
煩雑性が増える割に、利益が少ないので、それは考えていません。
現在の定義だけで x^(y*z)=(x^y)^z が証明できれば良いのですが、
できないのであれば、0^0=1 は指数が自然数であっても定義すべきではない。
そこの所が、ちょっとした問題だと認識しています。

＞実数の範囲まで拡張するときに、連続性を仮定すると、それに矛盾するのです。

底と指数の両方に連続性を仮定するから、それに矛盾するのです。
底にだけ、連続性を仮定するなら、矛盾はありません。
指数に連続性がないことは、すでに証明されている事柄です。

＞世間で「べき乗」と呼ばれているものとは異なるものであることを伏せて

伏せるとは、一言も言っていません。
この質問にあるような定義も考えることができ、それは別の関数の定義であり、理由があって一般の定義はそうなっていない、と記述すればいい訳ですよね？
それによって、べき乗の定義の意味をより深く理解できれば、それで良いのではないですか？

ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

＞ 私は、これらの定義方法が、同等であると思っています。

任意の定義の同等性については、
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4469777.html No.5 で sin について述べた通りです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html?ans_count_asc=20 No.7 も趣旨は同じだと思います。

＞ 今回の質問は、n は自然数という文脈での文章を考えていたので、

x^y の y を整数に限定するなら(有理数でもok)、0^0 = 1 に異存がある人は少ない
という点は、これまで繰り返された質問の中で、私も含め多くの回答者が同意しています。
その上で、x^y の定義をそのように限定することは、exp(x) を e^x と書いたりする
世間の「みんなが納得」している x^y の定義とは異なるから、そのようなものを考えたいなら
「べき乗」や「x^y」とは別の用語や記号を使うべきだ、「0^0は1とすべき」などとは
言うべきでない、と言っているのです。Wikipedia を書き換えるなど、言語道断です。

＞ 定義もないのに、lim[x→+0]0^x=0 が求まるのは不思議です。

だから、定義すればよいのです。ただし、世間で通用するように、普通に。

お礼

他のサイトのことは、そのサイトで話すべきだとは思うのですが、疑問にはお答えします。

＞Wikipedia を書き換えるなど、言語道断です。

Wikipediaであろうと、私が数学の素人であろうと、間違いは修正する必要があります。

＞「べき乗」や「x^y」とは別の用語や記号を使うべきだ

指数を整数に制限した場合は、べき乗という言葉も、x^y という記号も使うな、ということでしょうか？
それは、あまりに乱暴な意見ですね。
中学生にいきなり指数関数は早すぎますし、1.7乗という意味は分からなくても、x^2 という記号は使います。
べき乗には、指数を制限した定義も必要なのです。
＃ただし、全域で指数が実数のべき乗と一致する必要があります。

＞「0^0は1とすべき」などとは言うべきでない、と言っているのです。

私は、「0^0は1とすべき」などとは言っていません。
未定義とする、数学的に厳密な理由が知りたいだけです。
＃そして、それに合わせてWikiを修正したいだけ。
以前は、整数では矛盾がなくても、実数になると矛盾が存在するのだろうと考えていましたが、どうやらそれもないようですね。

＞ただし、世間で通用するように、普通に。

私の提案した定義が普通でないように思えるのであれば、
それがどこなのか、よろしければ教えてください。

ありがとうございました。

回答No.5

arrysthmia

lim[u→0] s(u) は、収束しません。
lim[u→+0] s(u) なら、収束して、値は 1 です。
誰がやっても、間違った lim の順序交換をしない限り
0 にはならないでしょう。

lim[x→+0] lim[u→x,v→0] exp(v log u) = 1 も
考え方は、同様。
u > 0 において v log u が連続であることから、x > 0 の範囲で
lim[u→x,v→0] exp(v log u) = exp(lim[u→x,v→0] v log u) = exp(0)
となって、lim[x→+0] lim[u→x,v→0] exp(v log u) = exp(0)。
lim[u→+0] s(u) = 1 と同じです。

・ x^y の y が有理数に限定される

は、これとは直接関係ない話で、

・ x^0 = 1,
・ x^(n+1) = x^n * x　(n>=0).

を定義とする限り、n は有理数体の外までは拡張できない。
そこを拡張するのに、普通は、連続性を用いる
と言っているのです。

お礼

結局、極限値について誤解していたようです。
連続関数でなければ、limの交換はできないのでした。
そこが自信なかったので、みんな未定義となっていました。

さて、みんなが納得できる範囲の指数関数（あるいはべき乗）では、0^y が定義されていません。
だから、0^y に拡張する方法は、考え出さねばなりません。
その方法は、数学的に１つに決まるものではなく、任意性があります。
x^y = lim[u→x,v→y] exp(v log u)
これも、その拡張の１つであることは認めます。
ただし、この定義は連続でない点では、収束しません。
それで、私は次のように考えています。
x^y = lim[u→x] exp(y log u)
＃次の定義は、意味を持ちません。
＃x^y = lim[v→y] exp(v log x)
それ以外には、指数法則を x=0 に拡張する方法があります。
この場合は、0^0=1 です。
私は、これらの定義方法が、同等であると思っています。

今回の質問は、n は自然数という文脈での文章を考えていたので、拡張性がないのはお許しください。
n を実数にするには、その場合のべき乗を定義するという作業が残っているのです。
＃定義もないのに、lim[x→+0]0^x=0 が求まるのは不思議です。

ありがとうございました。