"交わる"と"接する"の定義

質問

タイトル通り

"交わる"と"接する"についての定義を知りたいです。
例えば
"曲線 y=x^2 は 直線 x=0 に交わる"といえますか？
それとも
"曲線 y=x^2 は 直線 x=0 に接するが交わらない"が正しいですか？

よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>同じ側にあるときは、f(x)とg(x)は接しており、
>反対側にあるときは、f(x)とg(x)は交わっている。

これもだめだと思う．
例えばy=x^3とy=0のケースをどうしますか？
これは普通接するというと思う．
もっといやらしい例だと
y^2=x^3とx=0またはy=0のケースだと
もう直観は働かない．
x^3-x^2-y^2=0とx=0なんかも，接する？交わる？
ということになります．

なお，「同じ側」っていうのも実際はかなり微妙で
もとの質問からははずれるけども，
3次元空間で二つの曲線を考えた場合「同じ側」ってのは
判断できないわけです．

で，どうするかってことですが，一つの一般的な手は
「接する」「交わる」ってのを全部ひっくるめて
「点を共有する」ということにしてしまいます．
そして，その共有点を求めるときに
方程式を解きますが，その解の重複度を，
その点での「交点数」と名づけます．
この交点数が1より大きい場合を
「ばっさり」接するとして
1のときを交わると定義してしまう．
こういう流儀もあります．

実際はこの定義だと大雑把すぎる
特にx^3-x^2-y^2=0とx=0のようなケースに対しては
ちょっと問題ありなのですが，このようなケースに対しては
もっと厄介な議論が必要なので割愛します．

実際問題，結構厄介なんです．
交わるとか接するってのは．

お礼

>y=x^3とy=0のケース～
>こういう流儀もあります．
なるほど、確かにy=x^3とy=0の交点は接線の関係になっています。
そういう意味だと交わるではなく接するの方がしっくりきます。

ある文献に「3次関数のx軸との交わる点は1点もしくは3点のどちらかである。」
との記述がありまして、"交わる"とは割りと一般的に"接する"と区別されているのか？
と思い質問させていただきました。

結果から鑑みると、これら言葉は一般的に定義されている用語ではないように
(定義を任意に決定できるように)感じました。

回答ありがとうございました。

回答No.2

yaemon_2006

>１点のみで交わることを接するという表現を用いたと思うのですが

　これは、違う。
y == x^2 とx == 0 は、1点のみで交わるが、接していない。

　f(x)とg(x)が一致せず、かつ共有点を持つとき、
その共有点の前後で、g(x)上の点がf(x)に対して
同じ側にあるときは、f(x)とg(x)は接しており、
反対側にあるときは、f(x)とg(x)は交わっている。

じゃないですか？

お礼

確かに、
共有点の前後の傾きをみることで場合わけできそうですね。
大変参考になりました。

回答No.1

YQS02511

交わるでも正しいですが、特に交わる場合において、１点のみで
交わることを接するという表現を用いたと思うのですが。

　なので、接するが交わらないでは正しい表現ではないのでは
ないでしょうか？

　いかにしても、この場合、接するという表現の方がいいのでは
ないでしょうか。

お礼

すみません、
直線 x=0
は
直線 y=0
です。記入ミスです。それで考えていただきたいです。

補足

回答ありがとうございます。
>１点のみで交わることを接するという表現を用いる
とのことですが、
"曲線 y=x・(x-1)^2 は 直線 x=0 に2点で交わる"は表現としては正しいですか？

交わる の定義が理解できれば自分の物にできそうなので、ご教授いただけたら幸いです。