二次関数 平方完成

質問

円周率πのでてくる計算なんですが　どうもよくわかりません
π分のπは１にはならないのでしょうか？
πを含めた計算と～乗の計算がいまいち理解できていないかもしれません。そこのところも含めて教えてください。
平方完成の問題で計算の面倒なところがありよくわかりません。

４π分の１x二乗＋１６分の１〈エル-x〉二乗
（４π分の１＋１６分の１）x二乗-８分のエルx＋１６分のエル
これが最終的に
１６π分のπ＋４（x　－　π＋４分のπエル）二乗　＋４（π＋４）分のエルの二乗
となるのですが

途中までやったのですが　どうしても最後につく＋４（π＋４）分のエルの二乗　が計算ででてきません

その部分は
－（１６π分のπ＋４　掛ける〈π＋４分のπエル〉二乗）＋１６分のエル二乗　
の計算を説けばでてくると思うのですが
どう計算していけばいいのかわかりません。
πの二乗もでてくるようだし　分母の（π+4）を二乗するということは
〈π＋４〉二乗を展開しなければならない気がするのですが・・・

どうぞ優しく易しく教えてください、よろしくお願いします。

回答No.1

nettiw · ベストアンサー

Ａ二乗＝Ａ＾２

>> ４π分の１x二乗＋１６分の１〈エル-x〉二乗

　　　　ｘ＾２　　　（Ｌ－ｘ）＾２
Ｐ＝―――＋―――――
　　　　４π　　　　　　１６

　　　　４・ｘ＾２＋π・（Ｌ－ｘ）＾２
Ｐ＝――――――――――――
　　　　　　　　　１６π

　　　４・ｘ＾２＋π・Ｌ＾２－２πＬｘ＋π・ｘ＾２
Ｐ＝――――――――――――――――
　　　　　　　　　　１６π

　　　　（４＋π）・ｘ＾２－２πＬｘ＋π・Ｌ＾２
Ｐ＝――――――――――――――――
　　　　　　　　　　　１６π

両辺に１６πを掛けて、

１６πＰ＝（４＋π）・ｘ＾２－２πＬｘ＋π・Ｌ＾２

両辺を（４＋π）で割って、

１６πＰ　　　　　　　　　　　２πＬ　　　　　　　π・Ｌ＾２
――――＝ｘ＾２　－　――――・ｘ＋　――――
（４＋π）　　　　　　　　　（４＋π）　　　　　（４＋π）

６πＰ　　　　　　　　２πＬ　　　　　　（πＬ）＾２　　　　（πＬ）＾２　　　　　　　π・Ｌ＾２　　
―――＝ｘ＾２－―――・ｘ＋　――――　－　――――――　＋　――――
（４＋π）　　　　　（４＋π）　　　　（４＋π）＾２　　　　（４＋π）＾２　　　　　（４＋π）

１６πＰ　　　　　　　πＬ　　　　　　　　（４＋π）π・Ｌ＾２　－（πＬ）＾２　　　　　　　　　　　
―――＝［ｘ - ――――］＾２　+　――――――――――――　　　
（４＋π）　　　　　（４＋π）　　　　　　　　（４＋π）＾２

ここで、
　(4+π)π・L^2 - (πL)^2=4π・L^2 + (πL)^2 - (πL)^2=4π・L^2

１６πＰ　　　　　　　πＬ　　　　　　　　　　４π・Ｌ＾２　　　　　　
―――＝［ｘ - ――――　］＾２　+　―――――――　
（４＋π）　　　　　（４＋π）　　　　　　　　（４＋π）＾２

順番に戻して、

　　　　　　　　　　　　　　　　　πＬ　　　　　　　　　４π・Ｌ＾２　
１６πＰ＝（４＋π）［ｘ - ――――］＾２　＋　―――――――　
　　　　　　　　　　　　　　　　（４＋π）　　　　　　　　　（４＋π）

　　　（４＋π）　　　　　　πＬ　　　　　　　　　　　Ｌ＾２
Ｐ＝――――　［ｘ - ――――　］＾２＋―――――――　
　　　　１６π　　　　　　（４＋π）　　　　　　　　４（４＋π）

>>１６π分のπ＋４（x　－　π＋４分のπエル）二乗　＋４（π＋４）分のエルの二乗 。

お礼

早速回答ありがとうございます。
答えに載っていた計算の仕方とちょっと違いますが、わかりました。
丁寧にはじめから説いていただきましてありがとうございます。

補足

私の場合
P＝　１６π分の（４＋π）掛ける（x－（４＋π）πL）の二乗
までの式は答えと一緒なのですが、そのあとの式
－（１６π分のπ＋４　掛ける〈π＋４分のπエル〉二乗）＋１６分のエル二乗
となってしまうのですが、これも４（π＋４）分のLの二乗
となるのでしょうか。
私はかなり苦戦してしまいなかなかたどり着けません。

回答No.2

kumipapa

#1 さんの回答が非常に丁寧なので、敢えて補足するようなことも無いのですが・・・

＞　その部分は
＞　－（１６π分のπ＋４　掛ける〈π＋４分のπエル〉二乗）＋１６分のエル二乗　
＞　の計算を説けばでてくると思うのですが
＞　どう計算していけばいいのかわかりません。

- {(π+4)/(16π)}×(π L/(π+4))^2 + L^2 / 16
第一項をとにかく約分して
= - π L^2 / (16(π+4)) + L^2 / 16
通分すると
= - π L^2 / (16(π+4)) + (π + 4) L^2 / (16(π + 4))
共通因数でまとめて計算
= (- π + π + 4) L^2 / (16(π+4))
= L^2 / (4(π+4))

何を迷って計算をせずにいるのですか？ただの計算なのだから、多少複雑に見えてもさっさと計算すればいい。質問文を入力しているうちに、計算終わってるよ。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。
多分私には共通因数でまとめるという事ができないようです。
たとえば（π＋４）をそのままπ＋４のまま計算してしまい
訳わからなくなってしまいました。
問題点がはっきりしました。
ありがとうございました。

補足

すみません。
計算は何時間もかけてやってみたのですが、どうしても訳わからない数になってしまいました。