ベンチュリ管の流量計算式の誘導について

質問

以下の問題で計算式誘導を細かく説明してもらえると助かります。

　図の様に、内径d1の水平管中に、のど部d2のベンチュリ管が取り付けられて、内径d3の管に接続されている。流体密度ρ、重力加速度g、非圧縮性流体の条件下で、ベルヌーイの式と連続の式を立てよ。
　また、内径d1部とd2部の間で圧力差がΔpと与えられた場合、ベルヌーイの式と連続の式を用いて、管路を流れる流量Qを与える式を丁寧に誘導せよ。ただし、最終的な式にp1（d1部の圧力記号）、p2（d2部の圧力記号）、v1（d1部の速度記号）、v2（d1部の速度記号）を含んではならない。

　　　　　　￣￣￣￣￣￣＼／￣￣￣￣￣￣
　　　　　　↑　　　　　　　　↑　　　　　　　↑
Flow→　ｄ1　　　　　　　　d2　　　　　　　d3
　　　　　　↓　　　　　　　　↓　　　　　　　↓
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以上において、ベルヌーイの式と連続の式は立てられました。

v1^2/2g+p1/ρg=v2^2/2g+p2/ρg・・・ベルヌーイの式
Q=A1v1=A2v2・・・連続の式

しかし、流量を求める式の導出がいま一つ理解出来ないのです。
流量Qを求める式は
Q=(A1・A2/√A1^2-A2^2)√2gΔp
となる事は分かっているのですが、ここの形の式に成るまでの途中式が理解出来ないのです。

初歩的な数学の式の変形で出来ると思うのですが、式変形が苦手なのでふに落ちないのです。
出来ればで良いのですが、細かい説明を何とぞ宜しくお願いします。

回答No.1

qp3qp3 · ベストアンサー

gは重力加速度ですよね？
最後の導出された式↓
Q=(A1・A2/√A1^2-A2^2)√2gΔp
次元解析すると合わないですよね？？
（上記式において、＝の左右で単位が合わない）
次元を考えます。長さm　質量kg　時間sとすると、
●左辺
流量Qはm^3/sです。
●右辺
A1やA2はm^2　gはm/s^2　pはPa＝kg/m・s^2　ですから、
(A1・A2/√A1^2-A2^2)の部分はm^4/m^2でm^2
√2gΔpは・・・
gΔpの部分がm/s^2×kg/m・s^2=kg/s^4
このkg/s^4の平方根・・・√kgが残ってしまう時点でおかしいと思うのですが。。。

まず、ベルヌイの式。両辺をgで割ります。
v1^2/2+p1/ρ=v2^2/2+p2/ρ
変形して、
v2^2/2-v1^2/2=p1/ρ-p2/ρ
両辺2倍して、まとめると、
v2^2-v1^2=(p1-p2)・(2/ρ)　　・・・(1)

連続の式から、
v1=Q/A1　v2=Q/A2
ですから、これを(1)式に代入してv1、v2を(1)式から消します。
(1)の左辺
v2^2-v1^2=(Q/A2)^2-(Q/A1)^2=(Q^2)・{(1/A2^2)-(1/A1^2)}
ここで、
{(1/A2^2)-(1/A1^2)}は通分して、(A1^2-A2^2)/A1^2・A2^2
よって(1)式は、
(Q^2)・{(A1^2-A2^2)/A1^2・A2^2}=(p1-p2)・(2/ρ)
p1-p2をΔpと置き換え、さらに両辺を{(A1^2-A2^2)/A1^2・A2^2}で割ると、
Q^2={A1^2・A2^2/(A1^2-A2^2)}・Δp・(2/ρ)　・・・(2)
よってQは(2)式の右辺の平方根になります。

これであれば、次元も合います。
●右辺
A1やA2はm^2　pはPa＝kg/m・s^2　ρはkg/m^3　ですから、
(A1^2・A2^2/A1^2-A2^2)の部分はm^8/m^4でm^4
Δp・(2/ρ)の部分は、(kg/m・s^2)/(kg/m^3)=(m^2)/(s^2)
よって右辺は、
m^4・(m^2)/(s^2)=(m^6)/(s^2)
平方根を取ればちゃんと流量の次元m^3/sになります。

お礼

お早い回答ありがとうございます！
なるほど、次元が違うから式で食い違いが出ていたのですね。

また、細かい説明で解答してもらい大変助かりました。
非常に解りやすくなりました。
恐らく、他の問題にも応用が出来ますね！

今回は大変有り難うございました。