電界ベクトル

質問

電界ベクトルが法線方向に向き、その大きさが空間の何処でもξ/2ε_0〔V/m〕である。このように帯電した2枚の平面を間隔d〔m〕だけ離して平行に置いたとき、平面で仕切られた3つの領域における電界ベクトルを求めよ。

面電荷分布の存在する位置をX=0及びX=dとするとこの場合の電界は、それぞれの面電荷分布によって生ずる電界の重ねあわせとして得られるので
E_x＝-ξ/2ε_0(X＜0)
　　　0(0＜X＜d）
　　　ξ/2ε_0(X＞d)

このような答えでよろしいでしょうか?
間違っていたら教えてください。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

電荷は移動しない(板は導体でない)としてよいのですよね。

まず板が一枚だけある場合から。

　　↑　↑　↑　↑　↑　↑　電界ベクトルE=ξ/2ε
板　━━━━━━━━━━━━
　　↓　↓　↓　↓　↓　↓

電荷密度をξとすると板近傍での電界の大きさはξ/2εとなるのはご存じの通りです。真空中ならε=ε_0を代入します。

さて板を2枚置いた場合ですが

　　↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
板１━━━━━━━━━━━━電荷密度+ξ x=d
　　↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓
板２━━━━━━━━━━━━電荷密度+ξ x=0
　　↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

となりますから、x>dにおいては電界ベクトルの大きさは2倍、x<0においても同様です。
また板1と板2の間は電界ベクトルは打ち消し合って電界ゼロになります。
板1のつくり出す電界は板2より下に及ばないわけではなく、また板2についても板1より上に電界を作らないわけではありません。その分の重ね合わせを忘れませんように。

従って正解は
E_x＝-ξ/ε_0　(X＜0)
　　　0　　　　 (0＜X＜d）
　　　ξ/ε_0　 (X＞d)
となります。2倍だけ異なるわけです。

ガウスの定理からもこの解が正しいことが確認できます。
　　　　　　↑　↑E
　　　　　┌────┐上面
　　　　　│　　　　│
板１━━━┿━━━━┿━━━電荷密度+ξ x=d
　　　　　│面積Ｓ　│
板２━━━┿━━━━┿━━━電荷密度+ξ x=0
　　　　　│　　　　│
　　　　　└────┘下面
　　　　　　↓　↓E

上の図の2枚の板の配置で、断面積Sの円柱状の空間を考えて下さい。上面・下面は板と平行(円柱の軸は板と垂直)とします。
ガウスの定理によれば、ある空間から出て行く電界ベクトルの法線成分をその表面にわたって積分すると、その値は内部の全電荷÷誘電率と一致します。
さて上面を通過する電界ベクトルは、対称性から考えて板と垂直です。(従って電界ベクトルの大きさEはとその法線成分の大きさは同じ)
また対称性から考えて、側面は電気力線は通過しません(側面は電界ゼロ)。
下面は上面と同様です。ただし電界は下向きです。
電界ベクトルの大きさをEとしてこれをガウスの法則に当てはめると

E×S+E×S = (ξ×S+ξ×S)/ε_0
上面　下面　　板1　　板2

ですので、やはりE=ξ/ε_0になります。

お礼

有難うございました。