整数の組合せ

質問

おはようございます。
以下の条件を満たす負でない整数の組合せを考えていたら、わけがわからなくなりました。考え方がわかれば教えてください。

条件
ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝４、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４の２つです。
解答
（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ）＝（２，１，０，１）（０，４，０，０）（１，２，１，０）（２，０，２，０）の４つです。

回答No.3

dghjty145 · ベストアンサー

ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝４、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４
ｐ>=0、ｑ>=0、ｒ>=0、ｓ>=0、ｐ、ｑ、ｒ、ｓは整数より

まずｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４に注目にすると。

Ｓは０と１しかありえません。したがってＳ＝０とＳ＝１の場合に分けて、解いてゆくと、すぐに答えがでるのではないでしょうか。

Ｓ＝０の時、
　　ｑ＋２ｒ＝４、ｐ＋ｑ＋ｒ＝４になります。

　　ｑは０、２、４の３通りしかありえませんので、
　　　　　ｑ＝０の時、ｒ＝２、ｐ＝２
　　　　　ｑ＝２の時、ｒ＝１、ｐ＝１
　　　　　ｑ＝４の時、ｒ＝０、ｐ＝０

Ｓ＝１の時、
　　ｐ＋ｑ＋ｒ＝３、ｑ＋２ｒ＝１

　　　ｑ＋２ｒ＝１は　ｒ＝０、ｑ＝１しかありえませんんで、
　　　ｐ＝２となります。

以上、回答をまとめると、

（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ）＝（２，０，２，０）（１，２，１，０）（０，４，０，０）（２，１，０，１）

お礼

回答ありがとうございます。
場合わけが重要なのですね。

回答No.6

774danger

まぁ普通はしらみつぶしにやるにしても、No.2やNo.3のかたのやり方のほうが素直ですよね

> ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４に注目にすると。
> Ｓは０と１しかありえません

ということですから、sについての場合分けが2つで済みます
sが決まるとqやrの取りうる値も絞られるので考えやすいと 思います

ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝４
ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４

という2本の式を見たときに、上の式を見るとp～sは0,1,2,3,4のどれも取りうるので(No.4の回答に近い?)場合分けが面倒ですが、下の式だと場合分けが少なくて済みます
これに気づくかどうかが楽に解けるか解けないかに効いてくると思います

お礼

回答ありがとうございます。
参考にします。

回答No.5

take_5

＞私には思いつかない発想ですが、どのように考えるのでしょうか？よろしければ説明してください。

整数問題の解法の基本は“しらみつぶし”にある。
従って、1つの文字の値の範囲を決めてやって、そこを突破口として取り得る整数値を絞っていく、というのがその方法。
又、いずれ場合わけは不可欠になるから、変数は出来るだけ少ないほうが良い。
以上を考えると、ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝４、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４の2つを見てると、先ほども書いたが、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４にｐが含まれていない。
同時に、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝（ｑ＋ｒ＋ｓ）＋（r＋2s）と変形できる。
従って、x＝q＋r＋sと置いて、ｐから絞っていったらどうかな？というのが出発。

お礼

回答ありがとうございます。
＞以上を考えると、ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝４、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４の2つを見てると、先ほども書いたが、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４にｐが含まれていない。
同時に、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝（ｑ＋ｒ＋ｓ）＋（r＋2s）と変形できる。
従って、x＝q＋r＋sと置いて、ｐから絞っていったらどうかな？

↑なかなか考えつきません。問題をたくさん解いて類似の考え方を参考にするということでしょうか？
え？どうして？…という感じです。

回答No.4

take_5

正直にやるなら、“調べる”のが良い。

ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝４‥‥(1)、ｑ＋２ｒ＋３ｓ＝４　‥‥(2)とすると、(2)にpが含まれていないことに着目して、x＝q＋r＋sとする。
p＋x＝4、‥‥(3)、x＋（r＋2s）＝4‥‥(4)であるから、(3)よりx＝4-p≧0であるから、p＝4、3、2、1、0。
(1)p＝0の時、x＝4、r＋2s＝0からr＝s＝0よりq＝4.
(2)p＝1の時、x＝3、r＋2s＝1からr＝1、s＝0よりq＝2.
(3)p＝2の時、x＝2、r＋2s＝2からr＝2、s＝0、or、r＝0、s＝1　よりq　は　　各々q＝0、1.
(4)p＝3の時、x＝1、r＋2s＝3からr＝3、s＝0、or、r＝1、s＝1　よりq　を満たす整数値はない。
(5)p＝4の時、x＝0、r＋2s＝4からr＝4、s＝0、or、r＝2、s＝1、or、r＝0、s＝2よりqを満たす整数値はない

お礼

回答ありがとうございます。
＞x＝q＋r＋sとする

私には思いつかない発想ですが、どのように考えるのでしょうか？よろしければ説明してください。

回答No.2

Tiffa9900

自分ならですけど、
方程式が2つ、変数が4つなので、
ある2つを仮定して解いていくかなぁ？

仮定する上で、(r,s)の方が簡単だと思う。
0以上の整数で q+2r+3s=4 を成り立たせる為に
2r+3s<=4でないとダメなので、これを満たす組み合わせは
　(r,s)=(0,0),(0,1),(1,0),(2,0)
の4通り、それぞれについてp,qを求めればOK！

お礼

回答ありがとうございます。
回答に感謝します。

回答No.1

koko_u_

>以下の条件を満たす負でない整数の組合せを考えていたら、わけがわからなくなりました。
考えた内容を補足にどーぞ。

補足

何を基準にするのかで悩みました。
条件式よりｓは０又は１、ｒは０又は１又は２
(1)Ｓ＝０ならｐ＋ｑ＋ｒ＝４、ｑ＋２ｒ＝４→　ｑ＝４－２ｒより
　ｐ＋４－２ｒ＋ｒ＝４→　ｐ－ｒ＝０→　ｐ＝ｒ
　（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ）＝（０，４，０，０）（１，２，１，０）（２，０，２，０）
(2)ｓ＝１なら
　ｐ＋ｑ＋ｒ＝３、ｑ＋２ｒ＝１→　ｑ＝１－２ｒ≧０より、ｒ＝０、ｑ＝１、ｐ＝２
　（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ）＝（２，１，０，１）
(3)ｒ＝０なら、ｐ＋ｑ＋ｓ＝４、ｑ＋３ｓ＝４→　ｑ＝４－３ｓ≧０→
　ｓ＝０、１　ｓ＝０ならｑ＝４、ｐ＝０
　　　　　　　ｓ＝１ならｑ＝１、ｐ＝２
　（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ）＝（０，４，０，０）（２，１，０，１）
(4)ｒ＝１なら、ｐ＋ｑ＋ｓ＝３、ｑ＋３ｓ＝２→　ｑ＝２－３ｓ≧０→　ｓ＝０→　ｑ＝２→　ｐ＝１
　（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ）＝（１，２，１，０）
(5)ｒ＝２なら、ｒ＝ｓ＝０、ｐ＝０→
　（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ）＝（０，０，２，０）

以上の場合分けにより得られた結論より、
（ｐ、ｑ、ｒ、ｓ）＝（１，２，１，０）（０，４，０，０）（２，１，０，１）（０，０，２，０）

つまり、場合分けで特定できるものを基準にして、漏れのないように検討しながら場合分けする必要があるということでよいのでしょうか？

求められているので丁寧に考えるということなのでしょうか？計算がめんどうで時間がかかると思うと気が重くなりますが、結論を出すことが重要であるということなのでしょうか？