焦点距離に関する問題

質問

【実験３】光学台に焦点距離が10ｃｍの凸レンズ、電球、スクリーンをおき、スクリーン上にはっきりとした電球の像がうつるようにそれぞれの位置をかえた。表は、電球から凸レンズまでの距離（a)と凸レンズからスクリーンまでの距離（ｂ）および電球の像の大きさ（ｃ）を測定した結果である。ただし、もとの電球の大きさは４ｃｍである。
表
a 12 　15 　20 　30 　50 　　60
b 60 　30 　20 　15 　12.5 　12
c 20 　　8 　4 　　2 　　1 　　0.8
問題　実験３の結果から考えて、スクリーン上に写る電球の像がもとの電球の4倍の大きさになるのは、電球から凸レンズまでの距離（a）が何ｃｍのときか。答えなさい。（つまりcが16cmになる時）

という問題なのですが、いくら考えても答えが出ません。どうやってとくのか、その手順も教えていただけたら幸いです。
なお、問題について解からないことがあればどんどん聞いてください。
では、たくさんの回答お待ちしています。よろしくお願いします。

回答No.3

noname#11476 · ベストアンサー

まず、cの下に倍率を分数で書いてみてください。

a 12　　15 　20 　30 　50 　　60
b 60　　30 　20 　15 　12.5 　12
c 20 　　8 　4 　　2　　1 　　0.8
d 5/1 2/1 1/1 1/2 1/4 1/5

ポイントは、

電球の像が１／２になるということは、もし電球とスクリーンを入れ替えたらどうなるのか？

ということに気がつくかどうかです。
上の表を見てください。電球の像が２／１と１／２では距離が入れ替わっています。
５／１と１／５も同じです。

では、ほしいのは４／１倍になったときですが、それは、、、、

とここまでわかれば後は解けますね？

お礼

解かりました！！すごいですね！！何か規則性がないか探してたんですけど、こんなことが・・・びっくりです！どうもありがとうございました。

回答No.4

woo

>この公式を使う以外に中３までに習うことを使ってとく方法はないのでしょうか？あったら教えてください。

光学系を真横から見た図には、レンズの右側にも相似な三角形が２つできますよね。
１つは、電球の像のを底辺とし、焦点を頂点とした三角形。（三角形(1)と呼ぶ）
もう１つは、その反対側（頂点は焦点、底辺はレンズ上）。（三角形(2)と呼ぶ）
三角形(1)の底辺の長さは16cm、高さは？cm。
三角形(2)の底辺の長さは4cm、高さは10cm。
２つの三角形は相似なので、
16：？= 4：10
？=40
よって
b=10+40=50
aは先ほどの回答で使用した三角形の相似で出ます（(1)の式にbを代入）。

「焦点とは、平行な光が集まるところ」ということが大切です。
「平行な光が集まるところ」なので、電球（図では縦の線）をレンズのところまで平行移動させて考えればよいのです。

中学生でもＯＫな回答になったでしょうか。
レンズの公式（屈折の法則）は、これらの考え方を、ただ一般式にしたものです。

お礼

なるほど！丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.2

woo

光学系を真横から見た図(*)を描きます。
すると、レンズの右と左に、相似な三角形ができます。
相似なので、
4:a=c:b
ac=4b
c=16
4a=b ・・・(1)
一方、レンズの公式（屈折の法則）（1/a + 1/b = 1/f (f:焦点距離)）より
1/a + 1/b = 1/10 ・・・(2)
(1)(2)より
a=12.5,　b=50
となります。

図(*)：レンズの問題を解くときよく描く図です。よくわからないときは、
下記URLを参考にして描いてください。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/lens/lens.htm,

お礼

なるほど！レンズの公式（屈折の方式）って習ってませんが、よくわかりました。
でも、この公式を使う以外に中３までに習うことを使ってとく方法はないのでしょうか？あったら教えてください。

回答No.1

hono_mara

電球（半径r=2cm）、レンズ（焦点距離f=10cm）、スクリーンが、
ｘ軸上に並んでいるものとし、
それぞれの位置を、電球(-a,0)、レンズ(0,0)、スクリーン(b,0)とします。
スクリーン上の像がはっきりしているので、その位置に像が焦点を結んでいると言えます。
この場合、電球の上端あるいは下端から出射された光線のみを考察するだけで済みます。
電球の上端(-a,r)からでた光の内、”ｘ軸に平行な光”は、
レンズ内の(0,r)を通り、”さらに(f,0)を通ってから”スクリーン上の(b,-R)に到達します。
（平行光はレンズ通過後には焦点距離の位置(f,0)に集光されるためです。）
ここで、Rが像の大きさとなります。
マイナスの符号が付いているのは、像が倒立であることを意味しています。
像の大きさがｍ倍となっている場合は、
Ｒ＝ｍ×ｒ
です。
幾何学的に、
(0,r)、(0,0)、(f,0)を結んだ三角形と
(f,0)、(b,0)、(b,-R)を結んだ三角形は
相似であることから、
（ｂ－ｆ）／ｆ　＝　Ｒ／ｒ　＝　ｍ
となり、ゆえに
ｂ＝（ｍ＋１）×ｆ
となります。
この式を屈折の法則、
１／ａ　＋　１／ｂ　＝　１／ｆ
に代入すれば、
ａ＝（（ｍ＋１）／ｍ）×ｆ
となります。
ｍ＝４、ｆ＝１０ｃｍであるので、
ａ＝１２．５ｃｍとなります。