無限に拡がる薄い平板に、電荷が帯電している時に作る電場。

質問

電磁気のある問題で、

無限に拡がる薄い平板に電荷が帯電している。この平版からxの点における電場と電位を求めろ。

という問題があるのですが、答えは電場はxによらない、という答えになります。計算してみると、確かにそうなるのですが、イメージが沸きません…。近ければ近いほど、強い電場が働きそうなのですが。。。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

前の回答(No.3)で 10cm 四方と書いちゃいました．
10m 四方でしたね．
そこだけ訂正すれば，回答内容は変わりません．

> ということは無限平面の場合だと、
> 「10m四方の平面に帯電している平板があったとすると、
> 平板から1cmのところでも、1kmのところでも、
> 同じ大きさに電荷をおいたら電場から受ける力は同じ大きさということになる」
> のですよね…？

一様に帯電した無限平面があって，
そこから 1cm あるいは 1km 離れたところに10m 四方の帯電平面をおく，
という意味でしょうか？
それなら，1cm でも 1km でも 10m 四方の平面が受ける力は同じです．
また，20m 四方でも30m 四方でも，平面の総電荷量が同じなら受ける力は同じです．
もし，単位面積あたりの電荷が同じなら，10m 四方の場合に比べて
20m 四方なら４倍，30m 四方なら９倍になります．

もし，無限平面でなくて10m 四方の帯電平面があって，
そこから 1cm あるいは 1km 離れたところに電荷(例えば点電荷にしますか)をおく，
というのでしたら，
点電荷の受ける力は当然違います．
No.3 で書きましたように，電場の大きさが距離 z によって違いますので．

回答No.3

siegmund

chakulla さんや BookerL さんのご回答がありますので，
二番煎じみたいなものですが...

> 10m四方の平面に帯電している平板があったとすると、
> 平板から1cmのところでも、1kmのところでも、
> 同じ大きさに電荷をおいたら電場から受ける力は同じ大きさと
> いうことになるのでしょうか？

そうはなりません．
電荷をおいた点が帯電平面に近ければ(距離 1cm の場合)
状況は無限平面の場合とほぼ同じですし，
帯電平面から遠ければ(1km)，点電荷がある場合とほぼ同様です．
つまり，10cm 四方の帯電平面は 1cm の距離から見れば非常に広い平面に見えるのに対し，
1km の彼方から見ればほとんど点にしか見えません．

正方形ですとちょっと対称性が悪くて式が複雑になるので，
半径 a の円板にしましょう．
これに面密度σで一様に電荷が分布しているとします．
円板の中心軸上で円板から z だけ離れている点での電場の大きさは
(1)　　E = (σ/2ε_0){1-z/√(a^2+z^2)}
で表されることが知られています．
理工系１年次基礎教育の電磁気学の演習書など探すとよく載っています．
(1)で z/a→0 とすると
(2)　　E → σ/2ε_0 となり，
質問者さんもご存知の無限平面による電場に帰着します．
一方 z/a→∞ とすると，(1)は
(3)　　E ～ π a^2 σ/4πε_0 z^2
のように振る舞うので，点電荷と同じ状況であることになります．
π a^2 σが円板上の全電荷になっていることも大事です．

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど…。ということは無限平面の場合だと、
「10m四方の平面に帯電している平板があったとすると、平板から1cmのところでも、1kmのところでも、同じ大きさに電荷をおいたら電場から受ける力は同じ大きさということになる」
のですよね…？イメージ的には平板に近くても、遠くても巨大な無限に広い平板が立ちはだかる、というイメージだから、という具合に理解して大丈夫でしょうか？

回答No.2

BookerL

＞計算してみると、確かにそうなるのですが、イメージが沸きません…。近ければ近いほど、強い電場が働きそうなのですが。。。

　これは要するに「無限に拡がる平面」がイメージしにくいのではないでしょうか。無限に大きくなくても、１０ｍ四方くらいの平面に帯電しているところで、面から１ｃｍのところと２ｃｍのところで電場の強さが２倍とか４倍とかの違いが出るか、という風なイメージではどうでしょう。
　＃１さんのおっしゃるように、電気力線が面に垂直になっているので、力線同士は平行で密度が変わりません。これをわたしは草原の草のようなイメージで考えたりします。

　別のアプローチで、

○点電荷（０次元）による電場は距離の２乗に反比例
○線電荷（１次元）による電場は距離の１乗に反比例
○面電荷（２次元）による電場は距離の０乗に反比例＝距離に無関係

というのも、理解の助けになりませんか。

お礼

回答ありがとうございます。
とても理解が進んだと思います。
私が下の「お礼」に書いたようなイメージですよね。。。

補足

質問者です。
すみません。もう少し補足質問させてください。
面電荷による電場は距離に無関係ということですと、例えば、10m四方の平面に帯電している平板があったとすると、平板から1cmのところでも、1kmのところでも、同じ大きさに電荷をおいたら電場から受ける力は同じ大きさということになるのでしょうか？

回答No.1

chakulla

電場の強さは電気力線の密度によることを思い出してください。

ご質問のような無限平板の場合、対象性から電気力線は平面に垂直になることはイメージできるかと思います。

そうすると、電気力線の密度がxによらないことがわかります。

したがって、電場の強さも変わらないというわけです。

こんなんでよろしいでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど。言われてみれば、、、
つまり、xによらず（平行板からの距離によらず）電気力線の密度が変わらない、ということですよね。逆にいうと、点電荷や線電荷が作る電場は、その電荷からの距離で密度が変わるので電場の大きさが変わる。。。と？