不等式とグラフ

質問

教えてください！！

（１）y=x^2-2x+aの値が0<x<3(<の下に＝あり）の範囲で常に負あるためには、定数aはどのような値であればよいか。

（２）どんなxに対してもax^2-3ax+2a-1<0が常に成り立つとき、定数aの範囲を求めよ。

（３）y=x^2+2x+5aは常にy=-2x+a^2の上方みある、aの値の範囲を求めよ。

以上です！！来週月曜日までに知りたいのでよろしくお願いします。

回答No.1

noname#5277 · ベストアンサー

(1)　y=(x-1)^2+a-1
　となりますので、0<x<3の範囲ではx=3で最大となります。
　よって、x=3におけるyの値が負になれば良いので、
　　　y=(3-1)^2+a-1=a+3<0
　より　a<-3　が解答となります。

(2)　まず、aが正だと下に凸なグラフとなり、
　条件を満たさないことは分かりますか？
　また、a=0では不等式が成り立ちますので、これはaの範囲に入ります。
　では、a<0ではどうかというと、このとき、x軸と交点を持たなければ良いので、
　　　判別式D=(-3a)^2-4*a*(2a-1)<0
　これを解いて、-4<a<0　が解答となります。

(3)　(x^2+2x+5a)-(-2x+a^2)>0　が成り立てば良いことは分かりますか？
　これは整理すると
　　　x^2+4x-a^2+5a>0
　となります。この左辺の最小値が0以上であればよいということになります。
　平方完成して、
　　　(x-2)^2-a^2+5a-4>0
　よって、-a^2+5a-4>0　が成り立つaの範囲を求めれば良く、これを解いて、
　　　1<a<4
　が解答となります。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます！！とても助かりました！！

回答No.2

eatern27

(１)
y=(x-1)^2+1+aなので直線x=1に対してである。
よってx=3のときにyは最大になるのでy<0であれば題意を満たす。よって
3^2-2*3+a<0 よって a<-3

(２)
a=0のとき
-1<0より題意を満たす。

a≠0のとき
二次関数が常に負であるにはすくなくともx^2の係数が負でなければならないので
a<0・・・(ⅰ)
またax^2-3ax+2a-1=0の判別式をDとすると、常に負であるので
D=(-3a)^2-4a*(2a-1)=a^2+4a=a(a+4)<0となるので
-4<a<0・・・(ⅱ)
(ⅰ),(ⅱ)より-4<a<0
以上より-4<a≦0

ax^2-3ax+2a-1<0
これが2次不等式であることを言っていないので、a=0のときも検証する必要があることに注意して下さい。

(3)
2方程式を連立して整理すると
x^2+4x-a^2+5a=0
これが実数解を持たないので、判別式をDとすると
D/4＝2^2-(-a^2+5a)=a^2-5a+4=(a-1)(a-4)<0 よって
1<a<4

お礼

分かりやすい説明ありがとうございました！とても助かりました！！