増減・・・？？

質問

「f(x)=xの4乗-4・xの3乗+20の増減をしらべよ。」という問題の解説でf '(0)=0だからx<3ならばつねにf '(x)<0
はなりたたないが区間x<3において
X(1)＜X(2)⇒ｆ(X(1)）>f(X(2)）がなりたつからｆ（ｘ）は区間ｘ＜3で減少するといえるから・・・・」とあったのですが・・・いみがわかんないんです。教えてください！！！！おねがいします！！

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

最も有名な例を復習すると

F(x)=x^3 としたとき, F'(x)=3x^2(≧0) で, F'(0)=0であり, 常にF'(x)＞0 とは言い切れません.
しかし, 単調増加の本来の定義(微分可能な関数でなくても良い):

関数F(x)が区間Iで単調増加
⇔ 区間Iに属する任意のx1,x2について,
x1＜x2 ⇒ F(x1)＜F(x2)
が成り立つ

を考えると, F(x)はこの条件を完全に満たしており(x＜0ならF(x)＜0, x=0ならF(x)=0, x＞0ならF(x)＞0だから), F(x)=x^3 はx=0の点も含め, 定義域である実数全体で単調増加です.

同様に, ご質問の関数f(x) は区間 x＜3 だけを考えたとしても, x=0のときはf'(x)=0となってしまいますが, F(x)の時と同様に, x=0の点も含め

『区間x＜3に属する任意のx1,x2について常に, x1＜x2 ⇒ f(x1)＞f(x2) が成り立つ』
⇔f(x)は区間x＜3で単調減少

ということがいえます.

お礼

お礼が遅れてすみませんでした！ありがとうございました！

回答No.2

kony0

原則どおり考えればよいのでは？
f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)
x:…０…３…
f'(x):－０－０＋
f(x):↓→↓→↑

X(1), X(2)がなにを意味するのかわからないですし、
「なりたたないが」のあとの文章では、回答の根拠とは言いがたいと思われます。

f'(0)=0であるから、確かに命題「x<3⇒f'(x)<0」は偽です。（x<3で狭義(strictly)に単調減少ではない）
しかし命題「x<3⇒f'(x)<=0」は真です。（x<3で単調非増加は言える）
そのことを言いたがってるのかもしれませんね。

回答になりますでしょうか？

お礼

ありがとうございました！お礼が遅れてすみませんでした。

回答No.1

eatern27

別の質問でも書きましたが、XのN乗をX^Nと書きます。(ここだけの話ではない)
f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)…(1)
またf'(x)の符号はx-3の符号に一致します。なぜなら(1)で4x^2は正だから
だからx<3すなわち、x-3<0ならばf'(x)=<0(x=0のときf'(x)=0となる)となります。
図形的にf'(x)が何を意味しているかというと点(x,f(x))における接線の傾きです。
だから（ｘ）は区間ｘ＜3で減少するといえます。
＞X(1)＜X(2)⇒ｆ(X(1)）>f(X(2)）がなりたつから
これはただの具体例です。
わかりました？あなたがどの程度、微分を理解しているのかが分かりませんので、どの程度説明すればいいのか分かりません。

お礼

ありがとうございました！お礼が遅れてしまい済みませんでした！