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関数の増減を調べよという問題なのですが、正直解法の指針がわかりません。
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dy/dx が x の連続関数であることを見てとれば、 dy/dx = 0 となる x で区切って、それぞれの区間で dy/dx の符号が一定になることは解るでしょう。 あとは、各区間で一個づつ x を代入してみれば済む のですが、それも面倒なので… 方程式 f(x) = 0 の解 x が重根でなければ その x の前後で f(x) の符号が異なることを利用して、 何か一個だけ x を代入して dy/dx の正負を計算し、 そこから芋ヅル式に dy/dx の符号を決めてゆけばよい。 x→∞ のとき、dy/dx の符号がどうなるか?を考えて 出発点にすれば、最初に一個の x を代入してみる 手間も省くことができます。 質問の例なら、 lim[x→+∞] (4x^3 - 6x^2 - 4x) が +∞ 発散なので、 x 軸を右から見ていって 2 < x で dy/dx > 0、 0 < x < 2 で dy/dx < 0、 -1/2 < x < 0 で dy/dx > 0、 x < -1/2 で dy/dx < 0 と順に符号を決定すれば、増減表が書けるでしょう。 テキトーに x = -1, -1/4, 1, 10 あたりを選らんで 代入してみても、dy/dx の符号は判りますが。
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- alice_44
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補足要求: ところで、質問は、 解法の指針でしたっけ? その結果でしたっけ?
- muturajcp
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y=x^4-2x^3-2x^2+3 y'=4x^3-6x^2-4x=2x(2x^2-3x-2)=2(2x+1)x(x-2) x<-1/2 のとき 2x+1<0,x<0,x-2<0, (-)(-)(-)=(-)だから y'=2(2x+1)x(x-2)<0 で減少 -1/2<x<0 のとき 2x+1>0,x<0,x-2<0, (+)(-)(-)=(+)だから y'=2(2x+1)x(x-2)>0 で増加 0<x<2 のとき 2x+1>0,x>0,x-2<0, (+)(+)(-)=(-)だから y'=2(2x+1)x(x-2)<0 で減少 x>2 のとき 2x+1>0,x>0,x-2>0, (+)(+)(+)=(+)だから y'=2(2x+1)x(x-2)>0 で増加
- nattocurry
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第一次導関数y'が0になるということは、関数yの傾きが0になる(x軸と平行になる)ということであり、そこが極値を取るということは解っているようですね。 そこが上に凸なのか下に凸なのかを調べるためには、第一次導関数y'を更に微分した第二次導関数y''を求めて、極値をとるxを代入したy''の値で判断します。 y''が+であれば、y'が増加中ということであり、y'が0でy'が増加中ということは、yは下に凸ということになります。 yが下に凸ということは、そこより左のyは-、そこより右のyは+、ということになります。
- banakona
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まず、「xの4乗」はx^4と書きます。Excelでもそうなので、覚えておくと後々やくだつでしょう(ホントか?) で、本題。 4次関数を微分して、y'=0となる解がx=0,-1/2,2 と異なる3つの解が出てきたら、元の4次関数のグラフはW型になります(本問のように4次の係数がプラスの場合。マイナスならM型)。覚え方は、xをウンと小さくしたり大きくしたりするとyがどんどん大きくなる(x^4の項が最も効く!)ので不要でしょう。 だから増減表は、左から減少、増加、減少、増加の順となります(符号は左から-+-+)。 イメージではなく計算で解きたければ、x=0など計算しやすい値を代入すればいいんだけど、本問の場合はx=0でy'=0になってしまうので、x=1あたりを代入して符号を調べ、そこから両側に互い違いに符号を変えていけばいいでしょう。 ただし、これは本問のように導関数y’を0にする値が重解にならなかった場合の話で、重解の場合は別途注意が必要です。
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