べき算

質問

下記の「べき算」の解き方を教えてほしいです。

105=3/(1+r) +3/(1+r)^2 +3/(1+r)^3 +3/(1+r)^4 +103/(1+r)^5

r=1.9%

“r”という記号が入った(1＋r）^2や(1＋r)^3といったの式の解き方がわかりません。

ペンと電卓だけで紙に書いて解きたいので、途中式の模範回答を教えて頂けると大変助かります。
よろしくお願いします！

回答No.1

2kaku34 · ベストアンサー

よく式の意味が分かりません。　返済金額の合計でもないようです。
r=１．９％⇒０．０１９となります。
べき
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/phys/matsuura/lecture/basemath/arithmetic_algebra/power/powers.asp
複利計算を“暗算”で行う
http://www.itmedia.co.jp/bizid/articles/0702/23/news016.html
（１＋ｒ）^３＝（１＋ｒ）×（１＋ｒ）×（１＋ｒ）
です。　あとは根性。

お礼

ありがとうございます。
早速教えて頂いたサイトを参考にして、勉強してみます！

回答No.4

age_momo

実は私もソルバー派なんですが、インストールされていない時のために
代用として『ゴールシーク』が使えます。
(精度が低いのと複数セル変更に対応できない欠点はあります）
使い方はB1セルに
=3/(1+A1) +3/(1+A1)^2 +3/(1+A1)^3 +3/(1+A1)^4 +103/(1+A1)^5-105
と入力して(このままコピペしてOKです）『ゴールシーク』で
数式入力セル　B1
目標値　0　　　　(式の最後に105を引いてありますから)
変化させるセル　A1
で実行すると0.01941が出てきますよ。

お礼

ありがとうございます。
使ってみました。
式のとき方はまだ勉強中ですが、前に進むことができました。

回答No.3

noname#168349

５次方程式を解くのは難しい（不可能な場合もある）ので、右辺をテイラー展開で近似してみてはどうですか？

f(r)=3(1+r)^(-1) +3(1+r)^(-2) +3(1+r)^(-3) +3(1+r)^(-4) +103(1+r)^(-5)
とおく。
r≧0でf(r)が単調減少であるのは明白である。
f(0)=115
f(0.1)≒73.4
よって0<r<0.1の範囲にf(r)=105となるrが存在する。このrを近似的に求める。
テイラー展開による近似
(1+r)^n≒1+nr+n(n-1)(r^2)/2
を使うと
f(r)≒3(1-r+r^2)+3(1-2r+3r^2)+3(1-3r+6r^2)+3(1-4r+10r^2)+103(1-5r+15r^2)
=115-545r+1605r^2
=105
よって
321r^2-109r+2=0
解の公式より
r=0.01946

第３項まで近似したので小数点以下４桁程度の精度はあります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
すごく詳しい解答をありがとうございます。
お礼が遅くなって申し訳ありませんでした。

回答No.2

jo-zen

ペンと電卓だけでｒの値を計算するのはかなり難しいと思います。
質問の式ですが、ｒ＝（なにかしらの数字のみの式）の形に変形すれば、電卓を使えば計算することができます。両辺に（1+ｒ)＾5を掛けてあげれば、５次方程式となりますが、明らかな解がすぐにわかって４次方程式を解けばいい場合を除いて、代数的に答えを導き出すことは不可能（５次方程式の解の公式は存在しません）
やろうとすれば、ｒ＝0の場合の右辺の値を計算して、ｒ＝0.1の場合の値を出してみてその差などからf(r)＝（右辺の式）の値を推測して、ｒの値を試行錯誤しながら探していくしかないと思います。今回の場合符号が　+　ばかりですのでまだ数回の試行で答えを出せそうですが、-　の符号を含んだりすれば値の動きが複雑になってほぼ手作業では答えが導き出せない可能性もあります。
Excelにはソルバーという機能があります。それを使えば、ｒ＝0.0194102316005401という答えが簡単に出ました。なお、ソルバー機能はツールに表示されていなければ、アドインから追加してやる必要があります。その際、OFFICEのインストールCD-ROMが必要になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
債券の現在価値を割り引きだすために上記の計算式を使うのですが、高校の時に勉強した数学を忘れてしまい、途方にくれているところでした。
仕事が債券マーケットに関わることであり、その勉強の中に上記の式があり、この計算が出来るようになりたいと考えていました。
「ソルバー」ですね。これまで使ったことはないですが、これを使って計算することにします。
大変お手数かけました。
ありがとうございます。